Это окружность с радиусом и центром (2; 1). Изобразим это графически (см. рис. 1) Единственный случай, когда система имеет единственное решение, представлен на рисунке 1. При увеличении a окружность будет увеличиваться, и система будет иметь бесконечно много решений.
Радиус окружности перпендикулярен прямой y = -x + 8 и проходит через точку (2; 1). Значит, прямая, содержащая этот радиус, имеет вид y = x + m. Подставив x = 2, y = 1, получим m = -1. Найдём точку пересечения прямых y = x - 1 и y = -x + 8:
Это точка (4,5; 3,5), то есть центр некоторого квадрата. Заметим, что радиус равен 2,5 диагоналям квадрата со стороной 1. Значит,
2. Если , то x = 0, y = 0. Тогда из уравнения следует, что a = 0. Тогда окружность будет иметь радиус . Значит, с областью она не будет иметь пересечений, и в данном случае решение единственно (рис. 2).
Ответ: 0; 7,5
2 votes Thanks 1
mathgenius
Не все учтено. Есть еще точка x=0 , y=0 которая идет из первого уравнения. Нужно учесть случай пересечения окружности этой точки. a=0 тоже удовлетворяет условию.
mathgenius
Я бы пояснил насчет этой точки но сейчас лень рисунок делать. Завтра.
mathgenius
Это хитрое задание , надо быть очень внимательным
DNHelper
Всё, увидел. Я когда делил на первую скобку, не учёл, что она тоже может быть равной нулю. А она равна нулю при x = 0, y = 0, и неравенство выполняется (0 ≥ 0 — верно). И, окружность пересекается с этой точкой, но не пересекается с остальной областью (а оно так и есть), система имеет единственное решение.
Answers & Comments
Verified answer
Рассмотрим неравенство:
1. Если
, то оно будет равносильно неравенству
Рассмотрим уравнение:
Это окружность с радиусом
и центром (2; 1). Изобразим это графически (см. рис. 1) Единственный случай, когда система имеет единственное решение, представлен на рисунке 1. При увеличении a окружность будет увеличиваться, и система будет иметь бесконечно много решений.
Радиус окружности перпендикулярен прямой y = -x + 8 и проходит через точку (2; 1). Значит, прямая, содержащая этот радиус, имеет вид y = x + m. Подставив x = 2, y = 1, получим m = -1. Найдём точку пересечения прямых y = x - 1 и y = -x + 8:
Это точка (4,5; 3,5), то есть центр некоторого квадрата. Заметим, что радиус равен 2,5 диагоналям квадрата со стороной 1. Значит,
2. Если
, то x = 0, y = 0. Тогда из уравнения следует, что a = 0. Тогда окружность будет иметь радиус 
. Значит, с областью 
она не будет иметь пересечений, и в данном случае решение единственно (рис. 2).
Ответ: 0; 7,5