Ответ:

Решение существует только при  ∈(-∞; 0] ∪ [12; +∞) , причем оно единственное:

При каком наименьшем натуральном “” уравнение имеет решение?

При этом имеем корень:

Пошаговое объяснение:

Найдем такое значение , при котором существует решение

Сначала рассмотрим  случай, когда

В этом случае можно поделить обе части уравнения на  

Сделаем замены:

Поскольку , то данное уравнение эквивалентно системе:

,то корень, полученный в процессе решения, не будет обращать подкоренное выражение в отрицательное число, но тем не менее, нельзя забывать, что , а самое главное, что , но если это неравенство выполнено, то выполнено и то, что .  Тут надо понимать еще один не мало важный момент, что корень полученный, после решения уравнений относительно замен и будет одинаковым, а значит, поскольку , то оба из подкоренных выражений будут неотрицательны.

1)

Поскольку тут решений нет

2)

∈(-∞; 0) ∪ [12; +∞)

Таким образом, при ∈(-∞; 0) ∪ [12; +∞)  одно решение:

Рассмотрим теперь частные случаи:

1)

В этом случае, мы сначала обозначаем, что точно существует корень

Потом, не боясь за его потерю, опять приходим к тому, что

Но поскольку , то вторая скобка превращается в константу

То есть, возможно только , но как уже было показано выше, данное уравнение не имеет решений.

Таким образом, в этом случае, имеем одно решение.

Примечание: можно заметить, что решение точно согласуется с формулой :  

, что является удобным совпадением.

То есть мы можем объединить первый и второй случай в один:

Одно решение при  ∈(-∞; 0] ∪ [12; +∞)

2)

Как видим, тут решений нет

3)

Как видим, тут решений нет.

Таким образом, наименьшее натуральное a, при котором решение существует, это: