KayKosades
Чтобы функция убывала на всей числовой оси нужно чтобы производная была неположительна, а нулю равнялась лишь в некоторых отдельных точках. то есть, во первых,чтоб неравенство 

выполнялось для любого x.

Неравенство будет выполняться для всех x, когда a²+a-3 будет больше  или равно единице. Ведь -≤1sin2x≤1.
a²+a-3≥1
Решаем и получаем:
a∈(-oo; (-1-√17)/2]∪[(√17-1)/2); +oo)
Если a=(-1±√17)/2, f'(x)=0 в точках x=5pi/12+2pi*n, x=pi/12+2pi*n. При всех остальных же a из полученных промежутков производная отрицательна.
Таким образом мы можем говорить что функция действительно убывает на всей числовой прямой при a∈(-oo; (-1-√17)/2]∪[(√17-1)/2); +oo).