D = (2m+1)^2 -4(m^2+2m) = 4m+1-8m = 1-4m

при m = 1/4 уравнение имеет один корень

x^2 - (2m+1)x + m^2 +2m=0

количество корней зависит от дискриминанта

в нашем случае D должен быть раен 0

то есть

D=(2m+1)^2- 4(m^2 +2m)= 4m^2+4m+1-4m^2-8m= ( подчеркнутые числа взаимоуничтожаются)= -4m+1

мы выяснили что дискриминант должен быть равен 0 значит приравниваем

-4m+1=0

-4m=-1

m= 1/4