Ответ:

Многочлен P(x) таков, что многочлены P(P(x)) и

P(P(P(x))) строго монотонны на всей вещественной оси.

Докажите, что P(x) тоже строго монотонен на всей вещественной оси.

Решение:

Так как многочлен P(P(x)) монотонен, то

он обязан иметь нечетную степень, а тогда он принимает все ¨

вещественные значения.

Пусть a > b, тогда найдутся такие числа xa и xb

, что

P(P(xa)) = a, P(P(xb

)) = b. Так как старший коэффициент

многочлена P(P(x)) всегда положителен, то этот многочлен возрастает, поэтому xa > xb

.

Если старший коэффициент многочлена P(x) положителен,

то многочлен P(P(P(x))) возрастает; отсюда получаем, что

P(P(P(xa))) > P(P(P(xb

))), то есть P(a) > P(b) для любых

a > b. Если же старший коэффициент отрицателен, то, аналогично, P(P(P(xa))) < P(P(P(xb

))), откуда P(a) < P(b) для любых a > b.