применяя дифференцирование по параметру вычислинтеграл помогите плез. Created by VannedaThe100. matematika-ru

Ответ:Пошаговое объяснение:На мн-ве подынтегральная функция, очевидно, определена везде, кроме точки x=0.А тогда, если доопределить подынтегральную функцию в нуле значением , она станет непрерывной по x на промежутке . При этом, очевидно, на значение интеграла такое доопределение не влияет.По подынтегральная функция, очевидно, непрерывна.А тогда, согласно теореме о дифференцировании по параметру, получим:

применяя дифференцирование по параметру вычислинтеграл помогите плез...

VannedaThe100 @VannedaThe100

July 2022 1 16 Report

применяя дифференцирование по параметру вычислинтеграл

помогите плез

Answers & Comments

igorShap

Verified answer

Ответ:

$\dfrac{\pi}{2} sign(\alpha)\cdot ln(|\alpha|+1)$

Пошаговое объяснение:

На мн-ве $[0;+\infty)$ подынтегральная функция, очевидно, определена везде, кроме точки x=0.

$\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{arctg \alpha x}{x(1+x^2)}=\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\alpha x}{x(1+x^2)}=\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\alpha }{1+x^2}=\alpha$

А тогда, если доопределить подынтегральную функцию в нуле значением $\alpha$ , она станет непрерывной по x на промежутке $[0;+\infty)$ . При этом, очевидно, на значение интеграла такое доопределение не влияет.

По $\alpha$ подынтегральная функция, очевидно, непрерывна.

А тогда, согласно теореме о дифференцировании по параметру, получим:

$><img src=$

Тогда

$I(\alpha)=\int\dfrac{\pi}{2(|\alpha|+1)}d\alpha=\dfrac{\pi}{2}\int\dfrac{sign(\alpha)}{(|\alpha|+1)}d(|\alpha|+1)=\dfrac{\pi}{2} sign(\alpha)\cdot ln(|\alpha|+1)+C$