Ответ:

"Спать с открытыми глазами" - фразеологизм означающий " настороженность".

происхождение: как считалось еще с древности (а также во время войн), люди, спящие с открытыми глазами являлись людьми, которые были всегда "насторожены".

отсюда и пошел фразеологизм.