Произведение пятого и шестого членов арифметической прогрессии в 33 раза больше произведения ее первого и второго членов.
Во сколько раз пятый член прогрессии больше второго, если известно, что все члены прогрессии положительны?
Во сколько раз пятый член прогрессии больше второго, если известно, что все члены прогрессии положительны?
Answers & Comments
Verified answer
Выразим всё через первый член a и знаменатель d:a1 = a
a2 = a + d
a5 = a + 4d
a6 = a + 5d
По условию a5 * a6 = 33 a1 * a2:
(a + 4d)(a + 5d) = 33 a (a + d)
a^2 + 9ad + 20d^2 = 33a^2 + 33ad
32 a^2 + 24 ad - 20 d^2 = .0
8 a^2 + 6 ad - 5 d^2 = 0
Пусть d = an, n > 0, так как a и d положительны. Подставляем в уравнение и сокращаем всё на -a^2:
5n^2 - 6n - 8 = 0
D/4 = 3^2 + 8 * 5 = 9 + 40 = 49 = 7^2
n = (3 + 7)/5 = 2 (оставили только положительный корень)
Итак, d = 2a. Поэтому a2 = a + d = 3a, a5 = a + 4d = 9a и a5 / a2 = 3.
Ответ. 3.