60) Направляющие косинусы вектора a – это косинусы углов, которые вектор образует с положительными полуосями координат.

Примем единичный вектор, координаты единичного вектора равны его направляющим косинусам.

Свойство направляющих косинусов. Сумма квадратов направляющих косинусов равна единице.

Находим косинусы: cos(a(x)) = cos 120° = -1/2.  

                                   cos(a(z)) = cos 45° = √2/2.  

Записываем сумму квадратов косинусов.

(-1/2)² + (√2/2)² + cos²(a(y)) = 1.      

cos²(a(y)) = 1 - (-1/2)² - (√2/2)² = 1 - (-1/4) - (2/4) = 1/4.

cos(a(y)) = √(1/4) = +-(1/2)

Ответ: с осью Оу вектор составляет угол 60 или 120 градусов.

61) Из точки М проводим отрезки ,параллельные АС и ВС.

По свойству подобия треугольников полученные отрезки будут равны соответственно (2/3) СА и (1/3) СВ, то есть:

СМ = (2/3)a + (1/3)b.

63) В параллелограмме , построенном на векторах a и b, диагонали равны:

d1 = a + b, d2 = a-b.

a+ b = (2; -1; 1), модуль равен √(4+1+1) = √6.

a - b = (2; 3; -1), модуль равен √(4+9+1) = √14.

cos(d1_d2) = (2*2+(-1)*3+1*(-1)/(√6*√14) =  0/√84 = 0.

Угол равен 90 градусов.

Verified answer