Проволока длиной 1 метр должна быть поделена на 2 части. Из первой части сделают...

July 2022 1 19 Report

Проволока длиной 1 метр должна быть поделена на 2 части. Из первой части сделают круг, из второй квадрат. Какую длину должны иметь первая и вторая часть проволоки, чтобы сумма площадей круга и квадрата была максимальной?

Answers & Comments

Ziorar Можно решать графически, нарисовав график зависимости суммарной площади от периметра одной из фигур (например, круга).
Периметр фигуры- это и есть длина куска проволоки, взятой для изготовления этой фигуры. Длину для удобства будем выражать в сантиметрах (т.е. длина проволоки будет 100см).

Обозначим периметр круга как x (икс)
Тогда периметр квадрата будет равен оставшемуся куску проволоки, то есть: 100-x

Периметр круга равен два пи, умножить на радиус ( $P=2\pi r$ ).
Отсюда, радиус равен: $r=\frac{P}{2\pi}=\frac{x}{2\pi}$
Площадь круга равна пи умножить на радиус в квадрате: $S=\pi r^2=\pi(\frac{x}{2\pi})^2=\pi\frac{x^2}{4\pi^2}=\frac{x^2}{4\pi}$

Периметр квадрата равен четырём его сторонам ( $P=4a$ ).
Отсюда, сторона равна: $a=\frac{P}{4}=\frac{100-x}{4}$
Площадь квадрата равна: $S=a^2=(\frac{100-x}{4})^2=\frac{10000-200x+x^2}{16}=x^2-12,5x+625$

Теперь, запишем чему равна сумма площадей круга и квадрата:
$S=\frac{x^2}{4\pi}+x^2-12,5x+625=(1+\frac{1}{4\pi})x^2-12,5x+625$

Как видим, получилось уравнение параболы, у которой ветви направлены вверх (так как коэффициент при икс квадрат- положительный).
Если поразмыслить, то мы поймём, что у такой параболы максимальное значение y для любого отрезка по x будет на одном из концов этого отрезка (на том, который дальше от вершины параболы).
Подтвердим это, построив график функции $y=(1+\frac{1}{4\pi})x^2-12,5x+625$
Для начала, вычислим несколько значений функции при разных икс:
x    y
0    795,8
10    650,8
20    534,3
30    446,2
40    386,5
50    355,2
60    352,3
70    377,9
80    431,8
90    514,2
100    625,0
Затем, по этим точкам построим график (смотри приложенный рисунок).

По графику видно, что максимальное значение суммарной площади получается при x=100 (хотя, это видно и без графика, по вычисленным значениям функции).
Значит, длина первой части проволоки (для изготовления круга) нужна 100 сантиметров (т.е. 1 метр), а длина второй части- для квадрата получится равной: 100-x = 100-100 = 0см.
То есть максимальная площадь получится, если квадрат вообще не делать, а всю проволоку пустить на изготовление круга.

Ziorar Поправка: есть небольшая ошибка в решении (на ответ это не повлияло). Два места надо исправить- площадь квадрата: там не x², а (1/16)x². И в суммарной площади это надо исправить- и получится (1/16 + 1/4π)x² - 12,5x + 625. Но точки для графика посчитаны правильно- их я считал по начальным выражениям, до их упрощения, поэтому там ошибки нет.

Answers & Comments

kombinatorika sredi 20 uchastnikov razygryvaetsya 3 priza priz 1 priz 2 priz 3

dan treugolnik storona a4 cm vysota ha 3cm najti ploshad podobnogo treugol

v pryamougolnike izvestna storona b108 i ugol mezhdu diagonalyami 1348 gradusa

otec vesom 75 kg i ego syn 50kg podnimayutsya po lestnice vysotoj 75 metrov otcu9c22aef3b7812950d29970d59a14576e 67980

otec vesom 75 kg i ego syn 50kg podnimayutsya po lestnice vysotoj 75 metrov otcu

tex]...

tex]...

pokazat na grafike i vychislit velichiny

kotel goryachej sistemy vodosnabzheniya soderzhit 100 l vody vychislit teplotu kotor

vychislit vysotu esli diametr raven 40

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social