Verified answer

Общая хорда двух пересекающихся окружностей видна из их центров под углом 90° и 60°. Найдите их радиусы. если расстояние между центрами окружностей равно √3 + 1.

Ответ:

R = 2, CA = √2   или

,    

Объяснение:

Возможны два варианта расположения окружностей.

1. Центры окружностей расположены по разные стороны от хорды.

ОА = ОВ = R, ∠АОВ = 60°, значит ΔАОВ равносторонний, тогда

АВ = R.

Отрезок, соединяющий центры окружностей, перпендикулярен их общей хорде и делит ее пополам.

ОН - высота и медиана равностороннего треугольника, значит

СН - медиана равнобедренного прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, значит

По условию ОС = √3 + 1. Составим уравнение:

R = 2

как катет равнобедренного треугольника.

2. Центры окружностей расположены по одну сторону от хорды.

Получим другое уравнение:

Избавимся от иррациональности: