Ответ:

Если [tex]R_{Z} \neq R_{P}[/tex], то радиус круговой орбиты планеты найти невозможно. Если предположить, что [tex]R_{Z} = R_{P}[/tex], то [tex]h_{2} =[/tex] 13 700 км

Примечание:

Считаем, что радиус Земли равен 6400 км и Земля является идеальным шаром

Объяснение:

Дано:

[tex]R_{Z} =[/tex] 6400 км

[tex]h_{1} =[/tex] 300 км

[tex]M_{P} = 3M_{Z}[/tex]

Найти:

[tex]h_{2} \ - \ ?[/tex]

-----------------------------------

Решение:

Центростремительное ускорение для спутника движущего вокруг планеты:

[tex]a = \dfrac{v^{2}}{(R + h)}[/tex]

По закону всемирного тяготения для спутника и планеты:

[tex]F = \dfrac{mGM}{(R + h)^{2}}[/tex]

По второму закону Ньютона:

[tex]F = ma[/tex]

[tex]\dfrac{mGM}{(R + h)^{2}} = ma|:m[/tex]

[tex]\dfrac{GM}{(R + h)^{2}} = a[/tex]

[tex]\dfrac{GM}{(R + h)^{2}} = \dfrac{v^{2}}{(R + h)} \bigg | \cdot (R + h)[/tex]

[tex]v^{2} = \dfrac{GM}{R + h} \Longrightarrow \boxed{v = \sqrt{\dfrac{GM}{R + h}} }[/tex] - скорость спутника вокруг планеты на некой высоте над ней; данная формула может быть обобщена для произвольной планеты

Скорость спутника вокруг Земли:

[tex]v = \sqrt{\dfrac{GM_{Z}}{R_{Z} + h_{1}}}[/tex]

Скорость спутника вокруг некой планеты масса которой в три раза больше массы Земли:

[tex]v = \sqrt{\dfrac{GM_{P}}{R_{P} + h_{2}}} = \sqrt{\dfrac{3GM_{Z}}{R_{P} + h_{2}}}[/tex]

Так как спутник имеют одинаковую скорость, то:

[tex]\sqrt{\dfrac{GM_{Z}}{R_{Z} + h_{1}}} = \sqrt{\dfrac{3GM_{Z}}{R_{P} + h_{2}}}[/tex]

[tex]\Bigg (\sqrt{\dfrac{GM_{Z}}{R_{Z} + h_{1}}} \Bigg)^{2} = \Bigg ( \sqrt{\dfrac{3GM_{Z}}{R_{P} + h_{2}}} \Bigg)^{2}[/tex]

[tex]\dfrac{GM_{Z}}{R_{Z} + h_{1}} = \dfrac{3GM_{Z}}{R_{P} + h_{2}} \bigg | \cdot \dfrac{1}{GM_{Z}}[/tex]

[tex]\dfrac{1}{R_{Z} + h_{1}} = \dfrac{3}{R_{P} + h_{2}} \Longleftrightarrow R_{P} + h_{2} = 3(R_{Z} + h_{1})[/tex]

Если предположить, что радиус планеты такой же как и у Земли, то

[tex]R_{Z} = R_{P}[/tex], тогда:

[tex]R_{Z} + h_{2} = 3(R_{Z} + h_{1})[/tex]

[tex]R_{Z} + h_{2} = 3R_{Z} + 3h_{1}[/tex]

[tex]h_{2} = 3R_{Z} - R_{Z} + 3h_{1} = 2R_{Z} + 3h_{1}[/tex]

Расчеты:

[tex]h_{2} =[/tex] 2 · 6400 км + 3 · 300 км = 13 700 км

Ответ: Если [tex]R_{Z} \neq R_{P}[/tex], то радиус круговой орбиты планеты найти невозможно. Если предположить, что [tex]R_{Z} = R_{P}[/tex], то [tex]h_{2} =[/tex] 13 700 км.

#SPJ1