Verified answer

Радиус основания конуса равен 6, а высота конуса равна 8.
В конусе проведено сечение плоскостью , проходящей через вершину конуса . Площадь сечения равна 25√3.
Найдите угол между плоскостью основания и плоскостью сечения.

Сделаем рисунок.
Так как сечение АВС ограниченго двумя образующими, оно является равнобедренным треугольником с высотой и медианой ВМ.

АВ=10, это и без вычисления можно сказать - треугольник "египетский" с отношением сторон 3:4:5
Катеты 6 и 8, отсюда гипотенуза АВ=10
Можно сторону АВ найти по т. Пифагора, результат будет тем же.

Рассмотрим треугольник АВМ.
Он прямоугольный с прямым углом ВМА, и
его площадь равна половине площади сечения АВС.
S АВМ=(25√3):2
Из М проведем к образующей ВА высоту МК.
МК=2·S Δ АВМ:АВ
МК=(25√3):10=2,5√3

Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой.

МК²=ВК·АК
Пусть ВК=х, тогда АК=10-х
Составим уравнение:
(2,5√3)²=х·(10-х)
18,75=10х-х²

х²-10х+18,75=0
Найдем корни этого уравнения
D=b²-4ac= -10²-4·1·18,75=25
Так как дискриминант больше нуля, уравнение имеет два корня
х₁=7,5 
х₂=2,5  
Так как ВК больший отрезок, его длина равна 7,5
Длина второго отрезка не пригодится. (Можно с его помощбю найти АМ, затем НМ и косинус искомого угла, но вряд ли стоит, это дольше будет)
ВМ - гипотенуза треугольника ВМН, угол ВМН которого нам нужно найти.
ВМ²=МК²+ВК²
ВМ²=2,5√3²+7,5²
ВМ²=18,75+ 56,25=75
ВМ=5√3

sin ∠ВМН=8:5√3
sin ∠ВМН = 0,9238
По таблице  определяем, что
67°< ∠ВМН <68°, т.е приблизительно 67°29' ( точнее можно найти в более подробных таблицах)