рассмотрим все числа, записываемые только единицами, двойками и пятерками, и упорядочим их в порядке возрастания: 1,2,5,11,12,... какое число окажется на 2019-м месте?
Заметим, что чисел длины k в данной последовательности , так как на каждое место есть по три варианта цифры. Значит, первые 3 числа – однозначные, дальше 9 двузначных, 27 трёхзначных и т.д. Первое число появляется на 1 месте, первое двузначное – на месте с номером 1 + 3 = 4, ..., первое семизначное на месте с номером 1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 + 729 = 1093, первое восьмизначное – на месте с номером 1093 + 2187 > 2019. Значит, искомое число – семизначное.
Рассмотрим отдельно семизначные числа, нам нужно такое, что находится на (2019 - 1092 = 927)-м месте.
Если рассматривать эти числа как записи в троичной системе счисления, то получится, что это просто последовательность 0, 1, 2, 3, 4...
На 927-м месте в этой последовательности должна стоять троичная запись числа 926. Поскольку 926 = 1 * 729 + 0 * 243 + 2 * 81 + 1 * 27 + 0 * 9 + 2 * 3 + 2, то .
Заменяем цифры обратно и находим, что на 2019-м месте стоит 2152155.
Answers & Comments
Verified answer
Ответ:
2152155
Пошаговое объяснение:
Заметим, что чисел длины k в данной последовательности
, так как на каждое место есть по три варианта цифры. Значит, первые 3 числа – однозначные, дальше 9 двузначных, 27 трёхзначных и т.д. Первое число появляется на 1 месте, первое двузначное – на месте с номером 1 + 3 = 4, ..., первое семизначное на месте с номером 1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 + 729 = 1093, первое восьмизначное – на месте с номером 1093 + 2187 > 2019. Значит, искомое число – семизначное.
Рассмотрим отдельно семизначные числа, нам нужно такое, что находится на (2019 - 1092 = 927)-м месте.
Заменим 1 на 0, 2 на 1, 5 на 2.
Получаем последовательность 0000000, 0000001, 0000002, 0000010, 0000011, 0000012, 0000100, ...
Если рассматривать эти числа как записи в троичной системе счисления, то получится, что это просто последовательность 0, 1, 2, 3, 4...
На 927-м месте в этой последовательности должна стоять троичная запись числа 926. Поскольку 926 = 1 * 729 + 0 * 243 + 2 * 81 + 1 * 27 + 0 * 9 + 2 * 3 + 2, то
.
Заменяем цифры обратно и находим, что на 2019-м месте стоит 2152155.