начнем традиционно с общей его характеристики:

это простое предложение, в составе которого имеется одна грамматическая основа - матушка и Аркадий Иванович сидели.

Далее укажем, что это предложение повествовательное, невосклицательное, двусоставное (имеется подлежащее и сказуемое), распространённое, осложненное однородными подлежащими и уточняющей конструкцией, полное.

Продолжим синтаксический разбор указанием членов предложения:

кто? матушка и Аркадий Иванович - однородные подлежащие, которые подчеркнем линией ____;

что они делали? сидели - простое глагольное сказуемое, подчеркиваем двумя параллельными линиями;

сидели с чем? с книгами - косвенное дополнение, линия _ _ _;

сидели где? за столом - обстоятельство места, подчеркивается линией -.-.-.-;

столом каким? круглым - согласованное определение, подчеркиваем волнистой линией;

Сидели за столом именно где? под большой лампой - уточняющий член предложения, обстоятельство, которое подчеркивается линией .-.-.-