разложить функцию f(x) и найти сумму ряда в точках Хк. Created by JoaoMoniz. matematika-ru

разложить функцию f(x) и найти сумму ряда в точках Хк...

August 2022 1 4 Report

разложить функцию f(x) и найти сумму ряда в точках Хк

Answers & Comments

ВорсиВика Для разложения функции f(x)f(x) в ряд Фурье по косинусам воспользуемся стандартной формулой:

f(x)=a02+∑n=1∞ancosnx, x∈(0;π).f(x)=a02+∑n=1∞ancos⁡nx, x∈(0;π).

Вычислим коэффициенты a0a0 и anan:

a0=2π∫0πf(x)dx=1π∫0π(π−x)dx=1π(πx−x22)∣∣∣π0=1π(π2−π22)=π2;a0=2π∫0πf(x)dx=1π∫0π(π−x)dx=1π(πx−x22)|0π=1π(π2−π22)=π2;

an=2π∫0πf(x)cosnxdx=1π∫0π(π−x)cosnxdx=π−xnπsinnx∣∣∣π0+1nπ∫0πsinnxdx=an=2π∫0πf(x)cos⁡nxdx=1π∫0π(π−x)cos⁡nxdx=π−xnπsin⁡nx|0π+1nπ∫0πsin⁡nxdx=

=0−1n2πcosnx∣∣∣π0=−cosnπ−1n2π=1−(−1)nn2π=⎧⎩⎨0,2(2k−1)2π,n=2k,n=2k−1.=0−1n2πcos⁡nx|0π=−cos⁡nπ−1n2π=1−(−1)nn2π={0,n=2k,2(2k−1)2π,n=2k−1.

Итак, π−x2=π4+2π∑k=1∞cos[(2k−1)x](2k−1)2, x∈(0;π).π−x2=π4+2π∑k=1∞cos⁡[(2k−1)x](2k−1)2, x∈(0;π).

Для вычисление суммы ∑k=1∞1(2k−1)2∑k=1∞1(2k−1)2 положим x=0x=0:

f(0)=π4+2π∑k=1∞1(2k−1)2=π−02,f(0)=π4+2π∑k=1∞1(2k−1)2=π−02, откуда ∑k=1∞1(2k−1)2=π28.∑k=1∞1(2k−1)2=π28.

Для вычисление суммы ∑k=1∞1(2k−1)4∑k=1∞1(2k−1)4 воспользуемся равенством Парсеваля:

a202+∑n=1∞(a2n+b2n)=1π∫−ππf2(x)dxa022+∑n=1∞(an2+bn2)=1π∫−ππf2(x)dx

Учитывая, что функцию f(x)f(x) раскладывали только по косинусам, имеем следующее равенство:

π28+4π2∑k=1∞1(2k−1)4=2π∫0π(π−x2)2dx=12π∫0π(π−x)2dx=16π(x−π)3∣∣∣π0=π26,π28+4π2∑k=1∞1(2k−1)4=2π∫0π(π−x2)2dx=12π∫0π(π−x)2dx=16π(x−π)3|0π=π26,

откуда ∑k=1∞1(2k−1)4=π24(π26−π28)=π496.∑k=1∞1(2k−1)4=π24(π26−π28)=π496.

0 votes Thanks 0

Answers & Comments

kakoe kolichestvo informacii budet polucheno pri otgadyvanii chisla iz intervala ot

pomogite mne reshit pozhalujsta4567

kak izvestno ustnaya forma rechi neodnorodna v stilisticheskomotnoshenii i proyavlyae

kto byl fyodor kulakovkratko reshenie pozhalujsta pomogite mne

pomogite mne pozhalujsta kak reshit

pomogite mne pozhalujsta srochnoprichiny obrazovaniya energeticheskih zon v tvyordom

v chem razlichie energeticheskogo spektra sostoyanij elektronnogo v provodnikah pol

pomogite zadanie 7f0188ac3628af14d24c2c51df59e0e31 94430

pomogite mne reshit pozhalujsta po ekonomike

pomogite mne pozhalujsta zadanie 3

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social