Loudon Нужно просто решать, не замечая параметр, и только в последнем действии, обычно, что-то с ним сделать)
Определим сначала, что вообще может помешать этой системе иметь решение? Первому неравенству нужно быть обязательно меньше нуля. Если смотреть относительно х, то записано уравнение параболы (обычное квадратное уравнение). При х^2 стоит знак плюс, значит парабола сначала убывает, а потом возрастает (если бы был минус, то было бы наоборот и мы бы сказали, что она однозначно имеет области ниже нуля). И вот эта вот наименьшая часть должна быть меньше нуля - иначе говоря, квадратное уравнение должно иметь решения, причём два различных(между ними и будет заключена эта область).
Вспоминаем, когда у нас квадратное уравнение имеет два решения? Когда его дискриминант положителен. Записываем дискриминант этого уравнения:
D=(-(4a-1))^2 - 4*(3a^2-a) = 16a^2-8a+1 - (12a^2-4a) = 16a^2-8a+1-12a^2+4a = 4a^2-4a+1 = (2а-1)^2 
То есть мы нашли, чему равен дискриминант этого уравнения. Напомню, что мы ищем такие а, для которых дискриминант положителен! Т.е. возникает неравенство:
4a^2-4a+1>0
Вновь решаем квадратное неравенство тем же методом (но не забываем, что левая часть должна быть БОЛЬШЕ нуля):
D=16-16=0
Значит график касается нуля в одной точке, эта точка будет выколотой, а остальные подойдут:
а=4/(2*4)=1/2
Т.е. чтобы существовало решение первого неравенства, а не должно быть равно 1/2. Теперь, собственно, решим первое неравенство и второе уравнение.
Со вторым всё просто: х=4/а. Теперь нужно, чтобы это решение совпало с решением первого. У него два разных решения (потому что плюс-минус корень из дискриминанта):
х1 = ((4а-1)+(2а-1)) / 2 = (6а-2) / 2 = 3а-1
х2 = ((4а-1)-(2а-1)) / 2 = (2а) / 2 = а
Между этими двумя точками и лежит область, в которой неравенство верно. Возможны, правда, два варианта расположения этих точек относительно друг друга (х1 слева от х2 или наоборот). Сравнивая их:
3а-1>а
получим:
2а>1
a>1/2 - при таких а х2 слева от х1, при а<1/2 - х1 слева от х2.
Теперь вспоминаем, что, из второго уравнения, х=4/а. Он должен лежать в интервале между х1 и х2:
1) а>1/2:
a < 4/a < 3a-1
1.1) a < 4/a
a^2 < 4
-2 < a < 2
1.2) 4/a < 3a-1
4 < 3a^2 - a
3a^2-a-4>0
D = 1 + 4*4*3 = 49
a1,2 = (-1+-7) / 6 = {1; -4/3}
a < -4/3 и а > 1
Накладывая друг на друга решения 1.1 и 1.2, вспоминая условие (а>1/2), получим: 1 < a < 2 (здесь и в следующем случае мы как бы пересекаем решения - т.е. конечно будет таким, чтобы ВСЕМ трём удовлетворять)
2) a<1/2:
3a-1 < 4/a < a
2.1) 3a-1 < 4/a
Решение тут будет обратно решению 1.2:
 -4/3 < a < 1
2.2) 4/a < a
Решение обратно рещению 1.1:
 а < -2 и a > 2.
Совмещая и накладывая условие, получим:
a < -2
Теперь совмещаем решения 1) и 2) (а вот тут уже не пересекаем, а объединяем): 
а < -2 и 1 < a < 2
Как видим, решение не совпало с ответом. Значит видимо где-то ошибка, но общий ход решения такой.