Функция монотонна возрастающая, а функция - монотонно убывающая для любого значения . Так как сумма монотонно возрастающей и монотонно убывающей функций есть функция монотонно возрастающая, а в правой части - функция постоянная, то графики функций в левой и правой частях равенства имеют не более 1 точки пересечения. Делаем вывод: исходное уравнение имеет не более 1 корня, что и требовалось доказать.

Методом подбора легко находим корень . Действительно:

ОТВЕТ: {2}

Поступаем аналогично. В левой части - сумма двух монотонно убывающих функций, а значит функция - монотонно убывающая. Справа имеем постоянную функцию. Следовательно, графики функций в левой и правой частях равенства имеют не более 1 точки пересечения. Т.е. исходное уравнение имеет не более 1 корня.

Методом подбора находим все тот же корень . Действительно:

ОТВЕТ: {2}

ОДЗ: |x-3| ≠ 1 ⇒ x ≠ 2; 4.

С учетом ОДЗ неравенство равносильно следующему:

,

Решаем последнее неравенство методом интервалов: на числовой прямой отмечаем все нули функции в левой части (это числа х = 2 и х = 4 для первой скобки, х = 3,5 - для второй и х = 0, но нули выкалываем, так как неравенство строгое).

Окончательно получаем: .

ОТВЕТ: (-∞; 0) ∪ (2; 3,5) ∪ (4; +∞)