Модули. x^2 - 2x = x(x - 2) = 0; x1 = 0; x2 = 2 Если x <= 0 или x >= 2, то x^2 - 2x >= 0; |x^2 - 2x| = x^2 - 2x Если 0 < x < 2, то x^2 - 2x < 0; |x^2 - 2x| = 2x - x^2 Если y < 0, то |y| = -y. Если y >= 0, то |y| = y. Получаем 4 разных системы
1) x ∈ (-oo; 0] U [2; +oo); y ∈ (-oo; 0) { x^2 - 2x + y = 1 { x^2 - y = 1 Приравниваем левые части x^2 - 2x + y = x^2 - y -2x = -2y x = y Подставляем во 2 уравнение x^2 - x - 1 = 0 D = 1 - 4(-1) = 5 x1 = (1 - √5)/2 < 0 - подходит x2 = (1 + √5)/2 > 0 - не подходит Решение: x1 = y1 = (1 - √5)/2
2) x ∈ (0; 2); y ∈ (-oo; 0) { 2x - x^2 + y = 1 { x^2 - y = 1 Выразим y в обоих уравнениях { y = x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 { y = x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) Приравниваем правые части (x - 1)^2 = (x - 1)(x + 1) x1 = 1 ∈ (0; 2) - подходит; y = (x - 1)^2 = 0 - не подходит. Это НЕ решение. x - 1 = x + 1 - решений нет. Решений нет.
3) x ∈ (-oo; 0] U [2; +oo); y ∈ [0; +oo) { x^2 - 2x + y = 1 { x^2 + y = 1 Подставляем 2 уравнение в 1 уравнение 1 - 2x = 1 x = 0 - подходит. y = 1 - x^2 = 1 - 0 = 1 > 0 - подходит Решение: x2 = 0; y2 = 1
4) x ∈ (0; 2); y ∈ [0; +oo) { 2x - x^2 + y = 1 { x^2 + y = 1 Выразим y в обоих уравнениях { y = x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 { y = 1 - x^2 = (1 - x)(1 + x) = -(x - 1)(1 + x) Приравниваем правые части (x - 1)^2 = -(x - 1)(1 + x) x = 1 ∈ (0; 2) - подходит, y = 1 - x^2 = 0 ∈ [0; +oo) - подходит x - 1 = -1 - x; 2x = 0; x = 0 ∉ (0; 2) - не подходит Решение: x3 = 1; y3 = 0
Answers & Comments
Verified answer
Модули.x^2 - 2x = x(x - 2) = 0; x1 = 0; x2 = 2
Если x <= 0 или x >= 2, то x^2 - 2x >= 0; |x^2 - 2x| = x^2 - 2x
Если 0 < x < 2, то x^2 - 2x < 0; |x^2 - 2x| = 2x - x^2
Если y < 0, то |y| = -y. Если y >= 0, то |y| = y.
Получаем 4 разных системы
1) x ∈ (-oo; 0] U [2; +oo); y ∈ (-oo; 0)
{ x^2 - 2x + y = 1
{ x^2 - y = 1
Приравниваем левые части
x^2 - 2x + y = x^2 - y
-2x = -2y
x = y
Подставляем во 2 уравнение
x^2 - x - 1 = 0
D = 1 - 4(-1) = 5
x1 = (1 - √5)/2 < 0 - подходит
x2 = (1 + √5)/2 > 0 - не подходит
Решение: x1 = y1 = (1 - √5)/2
2) x ∈ (0; 2); y ∈ (-oo; 0)
{ 2x - x^2 + y = 1
{ x^2 - y = 1
Выразим y в обоих уравнениях
{ y = x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2
{ y = x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)
Приравниваем правые части
(x - 1)^2 = (x - 1)(x + 1)
x1 = 1 ∈ (0; 2) - подходит; y = (x - 1)^2 = 0 - не подходит. Это НЕ решение.
x - 1 = x + 1 - решений нет.
Решений нет.
3) x ∈ (-oo; 0] U [2; +oo); y ∈ [0; +oo)
{ x^2 - 2x + y = 1
{ x^2 + y = 1
Подставляем 2 уравнение в 1 уравнение
1 - 2x = 1
x = 0 - подходит.
y = 1 - x^2 = 1 - 0 = 1 > 0 - подходит
Решение: x2 = 0; y2 = 1
4) x ∈ (0; 2); y ∈ [0; +oo)
{ 2x - x^2 + y = 1
{ x^2 + y = 1
Выразим y в обоих уравнениях
{ y = x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2
{ y = 1 - x^2 = (1 - x)(1 + x) = -(x - 1)(1 + x)
Приравниваем правые части
(x - 1)^2 = -(x - 1)(1 + x)
x = 1 ∈ (0; 2) - подходит, y = 1 - x^2 = 0 ∈ [0; +oo) - подходит
x - 1 = -1 - x; 2x = 0; x = 0 ∉ (0; 2) - не подходит
Решение: x3 = 1; y3 = 0
Ответ: ((1 - √5)/2; (1 - √5)/2); (0; 1); (1; 0)