1)tgx·sin²y·dx+cos²x·ctgy·dy=0- уравнение с разделяющимися переменными. (tgxdx/cos²x)=-ctgydy/sin²y интегрируем ∫(tgxdx/cos²x)=-∫ctgydy/sin²y или ∫tgxd(tgx)=∫ctgyd(ctgy) tg²x/2=ctg²y/2+с или умножим на 2 и обозначим С=2с tg²x=ctg²y+С О т в е т. tg²x=ctg²y+С
2) Уравнение, допускающее понижение порядка. Замена переменной y`=z y``=z` z`-hz=0 Уравнение с разделяющимися переменными dz/dx=hz⇒ dz/z=hdx интегрируем ∫(dz/z)=∫hdx; ln|z|=hx+c z=e^(hx+c)=C₁eˣ y`=C₁eˣ- уравнение с разделяющимися переменными у=С₁eˣ+C₂ О т в е т. у=С₁eˣ+C₂ 3) Уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Составляем характеристическое уравнение k²+2k+5=0 D=4-4·5=-16 √D=4i k₁,₂=(-2±4i)/2=-1±2i Общее решение имеет вид у=e⁻ˣ(С₁cos2β+C₂sin2β) О т в е т. у=e⁻ˣ(С₁cos2β+C₂sin2β)
Answers & Comments
Verified answer
1)tgx·sin²y·dx+cos²x·ctgy·dy=0- уравнение с разделяющимися переменными.(tgxdx/cos²x)=-ctgydy/sin²y
интегрируем
∫(tgxdx/cos²x)=-∫ctgydy/sin²y
или
∫tgxd(tgx)=∫ctgyd(ctgy)
tg²x/2=ctg²y/2+с
или
умножим на 2 и обозначим С=2с
tg²x=ctg²y+С
О т в е т. tg²x=ctg²y+С
2) Уравнение, допускающее понижение порядка.
Замена переменной
y`=z
y``=z`
z`-hz=0
Уравнение с разделяющимися переменными
dz/dx=hz⇒ dz/z=hdx
интегрируем
∫(dz/z)=∫hdx;
ln|z|=hx+c
z=e^(hx+c)=C₁eˣ
y`=C₁eˣ- уравнение с разделяющимися переменными
у=С₁eˣ+C₂
О т в е т. у=С₁eˣ+C₂
3) Уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
Составляем характеристическое уравнение
k²+2k+5=0
D=4-4·5=-16
√D=4i
k₁,₂=(-2±4i)/2=-1±2i
Общее решение имеет вид
у=e⁻ˣ(С₁cos2β+C₂sin2β)
О т в е т. у=e⁻ˣ(С₁cos2β+C₂sin2β)