А). Строим сечение. АВС - правильный треугольник (дано) значит его высота АН - медиана и делит сторону ВС пополам. BD=DC (дано), значит треугольник BDC равнобедренный и его высота является медианой, делящей сторону ВС пополам. Следовательно, проведя перпендикуляр из прямого угла АHD (дано) к ребру AD, мы получим точку M пересечения секущей плоскости ВМС, проходящей через прямую ВС перпендикулярно ребру AD. Действительно, по теореме о трех перпендикулярах линии пересечения секущей плоскости и граней ADC и ADB СМ и АМ перпендикулярны ребру AD, следовательно, плоскость сечения ВМС перпендикулярна ребру АD.
б). Итак, треугольник ВМС - основание пирамиды ВСМD, а DM - ее высота. АН - высота правильного треугольника АВС и равна (√3/2)*8√3, то есть АН=12. Тогда AD=2*12=24 ( так как <DAH=60° - дано, а <ADH=30°, против которого лежит катет АН). DH=12√3 (по Пифагору в треугольнике ADH). MH=AH*DH/AD = 12*12√3/24=6√3 (по свойству высоты из прямого угла в треугольнике ADH). Тогда площадь основания пирамиды ВМСD - площадь треугольника ВМС: So=(1/2)*MH*BC=(1/2)*6√3*8√3=72. По свойству a²=c*d (d - отрезок гипотенузы с, прилежащий к катету a) имеем: DH²=AD*DM, отсюда DM=DH²/AD = 144*3/24=18. Vbcmd=(1/3)*So*h=(1/3)*So*h=(1/3)*72*18=432.
Answers & Comments
Verified answer
А). Строим сечение.АВС - правильный треугольник (дано) значит его высота АН - медиана и делит сторону ВС пополам. BD=DC (дано), значит треугольник BDC равнобедренный и его высота является медианой, делящей сторону ВС пополам. Следовательно, проведя перпендикуляр из прямого угла АHD (дано) к ребру AD, мы получим точку M пересечения секущей плоскости ВМС, проходящей через прямую ВС перпендикулярно ребру AD.
Действительно, по теореме о трех перпендикулярах линии пересечения секущей плоскости и граней ADC и ADB СМ и АМ перпендикулярны ребру AD, следовательно, плоскость сечения ВМС перпендикулярна ребру АD.
б). Итак, треугольник ВМС - основание пирамиды ВСМD, а DM - ее высота.
АН - высота правильного треугольника АВС и равна (√3/2)*8√3, то есть
АН=12. Тогда AD=2*12=24 ( так как <DAH=60° - дано, а <ADH=30°, против которого лежит катет АН).
DH=12√3 (по Пифагору в треугольнике ADH).
MH=AH*DH/AD = 12*12√3/24=6√3 (по свойству высоты из прямого угла в треугольнике ADH). Тогда площадь основания пирамиды ВМСD - площадь треугольника ВМС:
So=(1/2)*MH*BC=(1/2)*6√3*8√3=72.
По свойству a²=c*d (d - отрезок гипотенузы с, прилежащий к катету a) имеем:
DH²=AD*DM, отсюда DM=DH²/AD = 144*3/24=18.
Vbcmd=(1/3)*So*h=(1/3)*So*h=(1/3)*72*18=432.