А) Плоскость β проведена через точку К параллельно плоскости BDA1, следовательно, эти плоскости будут пересекаться гранями параллелепипеда по параллельным прямым и наоборот, параллельные грани параллелепипеда будут пересекаться плоскостью β по параллельным прямым. То есть линии пересечения секущих плоскостей гранью АА1В1В по прямым А1В и РК, линии пересечения граней АВСD и А1В1С1D1 секущими плоскостями по прямым ВD и РO, линии пересечения секущих плоскостей гранью АА1D1D по прямым А1D и ON, линии пересечения граней АA1B1B и DD1C1C секущими плоскостями по прямым A1В и NM, линии пересечения секущих плоскостей гранью АBCD по прямым DB и ML и линии пересечения граней АA1D1D и BB1C1C секущими плоскостями по прямым A1D и KL. Таким образом мы получили сечение KLMNOP параллелепипеда плоскостью β. Отметим, что ВКND - прямоугольник по построению (плоскости ВА1D и β параллельны, а ВК и DN перпендикулярны BD) и DN=BK. Следовательно и КВ1=ND1 и DN/ND1=BK/KB1=1/2. Отметим, что MN параллельна диагонали СD1 по построению (MN параллельна ВА1, а ВА1 параллельна СD1) и по теореме Фалеса DM:MC=DN:ND1=1:2, или CМ=2МD, что и требовалось доказать.
б) Площадь сечения плоскостью β - это площадь двух трапеций: КРОN и KLMN с основаниями KN, OP и высотой FR (KPON) и основаниями KN, LM и высотой ES (KLMN) соответственно. Причем KN=BD=√(36+64)=10. PO=(1/3)*KN=10/3, LM=(2/3)*KN=20/3. В треугольниках A1В1D1 и CBD высоты A1Q и СТ - высоты из прямого угла и по ее свойствам A1Q=СТ=6*8/10=4,8, а А1F=(1/3)*A1Q=1,6 и СЕ=(2/3)*СТ=3,2. Тогда QF=A1Q-A1F=3,2; ET=CT-CE=1,6. QR=(2/3)*BB1=(2/3)*12=8; ST=12-8=4. По Пифагору FR=√(QF²+QR²)=√(10,24+64)=√74,24. SE=√(ET²+ST²)=√(2,56+16)=√18,56. Skpon=(OP+KN)*FR/2=20*√74,24/3 Sklmn=(LM+KN)*SE/2=25*√18,56/3 Sklmnop=Skpon+Sklmn=20*√74,24/3+25*√18,56/3=5√18,56(4√4+5)/3=65√18,56/3. Ответ: площадь сечения равна 65√18,56/3 ≈ 93,34 ед².
2 votes Thanks 2
Hrisula
Можно немного упростить подкоренное выражение. S(KPON)= 20√74,24/3=32√29/3 S(KLMN)=25*√18,56/3=20(√29)/3 S сечения = 32√29/3+20√29/3=52(√29)/3 =~ 93,34
Answers & Comments
Verified answer
А) Плоскость β проведена через точку К параллельно плоскости BDA1, следовательно, эти плоскости будут пересекаться гранями параллелепипеда по параллельным прямым и наоборот, параллельные грани параллелепипеда будут пересекаться плоскостью β по параллельным прямым.То есть линии пересечения секущих плоскостей гранью АА1В1В по прямым А1В и РК, линии пересечения граней АВСD и А1В1С1D1 секущими плоскостями по прямым ВD и РO, линии пересечения секущих плоскостей гранью АА1D1D по прямым А1D и ON, линии пересечения граней АA1B1B и DD1C1C секущими плоскостями по прямым A1В и NM, линии пересечения секущих плоскостей гранью АBCD по прямым DB и ML и линии пересечения граней АA1D1D и BB1C1C секущими плоскостями по прямым A1D и KL. Таким образом мы получили сечение KLMNOP параллелепипеда плоскостью β.
Отметим, что ВКND - прямоугольник по построению (плоскости ВА1D и β параллельны, а ВК и DN перпендикулярны BD) и DN=BK. Следовательно и КВ1=ND1 и DN/ND1=BK/KB1=1/2.
Отметим, что MN параллельна диагонали СD1 по построению (MN параллельна ВА1, а ВА1 параллельна СD1) и по теореме Фалеса DM:MC=DN:ND1=1:2, или CМ=2МD, что и требовалось доказать.
б) Площадь сечения плоскостью β - это площадь двух трапеций:
КРОN и KLMN с основаниями KN, OP и высотой FR (KPON) и основаниями KN, LM и высотой ES (KLMN) соответственно. Причем KN=BD=√(36+64)=10.
PO=(1/3)*KN=10/3, LM=(2/3)*KN=20/3.
В треугольниках A1В1D1 и CBD высоты A1Q и СТ - высоты из прямого угла и по ее свойствам A1Q=СТ=6*8/10=4,8, а А1F=(1/3)*A1Q=1,6 и СЕ=(2/3)*СТ=3,2.
Тогда QF=A1Q-A1F=3,2; ET=CT-CE=1,6.
QR=(2/3)*BB1=(2/3)*12=8; ST=12-8=4.
По Пифагору FR=√(QF²+QR²)=√(10,24+64)=√74,24.
SE=√(ET²+ST²)=√(2,56+16)=√18,56.
Skpon=(OP+KN)*FR/2=20*√74,24/3
Sklmn=(LM+KN)*SE/2=25*√18,56/3
Sklmnop=Skpon+Sklmn=20*√74,24/3+25*√18,56/3=5√18,56(4√4+5)/3=65√18,56/3.
Ответ: площадь сечения равна 65√18,56/3 ≈ 93,34 ед².
S(KLMN)=25*√18,56/3=20(√29)/3
S сечения = 32√29/3+20√29/3=52(√29)/3 =~ 93,34