Построение. Сечение проходит через точки А и С, то есть через диагональ основания АС, перпендикулярно диагонали параллелепипеда ВD1. Следовательно, плоскость сечения содержит перпендикуляр, проведенный из точки О (пересечение диагоналей основания)к прямой ВD1 и пересекающий диагональ верхнего основания В1D1 в точке К (так как этот перпендикуляр лежит так же и в плоскости диагонального сечения ВВ1D1D. Причем плоскость Ω будет пересекать верхнее основание по прямой, параллельной прямой АС (свойство). В сечении имеем трапецию АРМС. Найдем по Пифагору диагональ основания ВD=√(ВА²+АD²) или ВD=8√2. Тогда диагональ параллелепипеда ВD1=√(ВD²+DD1²) или ВD1=√(128+36)=√164=2√41. Рассмотрим прямоугольный треугольник ВDD1. Cos<DВD1=BD/BD1 или Cos<DBD1=8√2/2√41=4√(2/41). В прямоугольном треугольнике ВОН угол ОВН - это угол DBD1 и, значит, косинус угла ОВН равен Cos<DBD1=4√(2/41). Cos<ОВН=ВН/ВО, отсюда ВН=ВО*Cos<ОВН или ВН=(4√2)*4√(2/41)=32/√41. НD1=ВD1-ВН или HD1=2√41-32/√41=50/√41. Заметим, что углы <ВD1В1 и <DBD1 равны, как накрест лежащие при параллельных прямых BD и B1D1 и секущей ВD1. Тогда Cos<ВD1В1=Cos<DBD1=4√(2/41). В прямоугольном треугольнике КНD1: Cos<HD1K=Cos<ВD1В1=4√(2/41). Тогда КD1=НD1/Cos<HD1K или КD1=50*√41/(√41*4√2)=25/(2√2). В1К=В1D1-КD1 или В1К=8√2-25/(2√2)=7/(2√2). КО1=В1О1-В1К или КО1=4√2-7/(2√2)=9/(2√2). По теореме Фалеса В1К/КО1=В1М/МС1 ( так как РМ параллельна АС и, значит, параллельна А1С1. Имеем: В1М/МС1=7/(2√2):9/(2√2) = 7/9, что и требовалось доказать.
В прямоугольном треугольнике О1КО искомый угол между плоскостями Ω и АСС1 - это угол КОО1 ( так как сечение ВВ1D1D перпендикулярно и сечению АСС1А1 и сечению Ω). Тогда Tgα=КО1/ОО1 или Tgα=9/(6*2√2)=3/(4√2)=3√2/8 ≈0,53. Итак, искомый угол равен arctg(0,53), то есть α≈28°.
3 votes Thanks 2
Алкадиеныч
Можно подробнее, откуда появились точки M и P?
Andr1806
Плоскость сечения содержит перпендикуляр ОН, проведенный к диагонали ВD1 и пересекающий диагональ верхнего основания В1D1 в точке К. Плоскость Ω будет пересекать верхнее основание по прямой, параллельной прямой АС (свойство). Проводим через точку К прямую РМ, параллельно АС.
Answers & Comments
Verified answer
Построение. Сечение проходит через точки А и С, то есть через диагональ основания АС, перпендикулярно диагонали параллелепипеда ВD1. Следовательно, плоскость сечения содержит перпендикуляр, проведенный из точки О (пересечение диагоналей основания)к прямой ВD1 и пересекающий диагональ верхнего основания В1D1 в точке К (так как этот перпендикуляр лежит так же и в плоскости диагонального сечения ВВ1D1D. Причем плоскость Ω будет пересекать верхнее основание по прямой, параллельной прямой АС (свойство).В сечении имеем трапецию АРМС.
Найдем по Пифагору диагональ основания ВD=√(ВА²+АD²) или
ВD=8√2. Тогда диагональ параллелепипеда ВD1=√(ВD²+DD1²) или ВD1=√(128+36)=√164=2√41. Рассмотрим прямоугольный треугольник ВDD1. Cos<DВD1=BD/BD1 или Cos<DBD1=8√2/2√41=4√(2/41). В прямоугольном треугольнике ВОН угол ОВН - это угол DBD1 и, значит, косинус угла ОВН равен Cos<DBD1=4√(2/41). Cos<ОВН=ВН/ВО, отсюда ВН=ВО*Cos<ОВН или ВН=(4√2)*4√(2/41)=32/√41.
НD1=ВD1-ВН или HD1=2√41-32/√41=50/√41. Заметим, что углы <ВD1В1 и <DBD1 равны, как накрест лежащие при параллельных прямых BD и B1D1 и секущей ВD1. Тогда Cos<ВD1В1=Cos<DBD1=4√(2/41). В прямоугольном треугольнике КНD1: Cos<HD1K=Cos<ВD1В1=4√(2/41). Тогда КD1=НD1/Cos<HD1K или КD1=50*√41/(√41*4√2)=25/(2√2).
В1К=В1D1-КD1 или В1К=8√2-25/(2√2)=7/(2√2).
КО1=В1О1-В1К или КО1=4√2-7/(2√2)=9/(2√2).
По теореме Фалеса В1К/КО1=В1М/МС1 ( так как РМ параллельна АС и, значит, параллельна А1С1.
Имеем: В1М/МС1=7/(2√2):9/(2√2) = 7/9, что и требовалось доказать.
В прямоугольном треугольнике О1КО искомый угол между плоскостями Ω и АСС1 - это угол КОО1 ( так как сечение ВВ1D1D перпендикулярно и сечению АСС1А1 и сечению Ω). Тогда Tgα=КО1/ОО1 или Tgα=9/(6*2√2)=3/(4√2)=3√2/8 ≈0,53.
Итак, искомый угол равен arctg(0,53), то есть α≈28°.