А)Проводим D₁М параллельно А₁Т В грани D₁DCC₁ ( cм. рисунок слева) отмечаем равные углы в равных между собой прямоугольных треугольниках DD₁F и D₁C₁M Обозначаем их α и β Причем α+β=90° - сумма острых улов прямоугольных треугольников DD₁F и D₁C₁M
Рассматриваем треугольник D₁FE В нем тоже есть один угол α и один угол β, значит третий угол 90° Прямые DF и D₁M перпендикулярны. D₁M || A₁T Значит DF⊥ A₁T
б) DC || AB DC ⊥ CC₁ Значит АВ ⊥ CC₁ Ответ угол между прямыми АВ и CC₁ - прямой
в) cм. рисунок 2 Проводим QD₁ || B₁F D₁H|| A₁K Из треугольника QKH Обозначим сторону куба х По теореме Пифагора QH²=x²+x² QH=x√2
Q₁D₁=D₁H=x√5/2 по теореме Пифагора ( cм рисунок слева)
Из QD₁H по теореме косинусов:
(х√2)²=(х√5/2)²+(х√5/2)²-2·(х√5/2)·(х√5/2)·cos ω
ω- угол между QD₁ и D₁H, а значит и между A₁K и B₁F
Answers & Comments
Verified answer
А)Проводим D₁М параллельно А₁ТВ грани D₁DCC₁ ( cм. рисунок слева) отмечаем равные углы в равных между собой прямоугольных треугольниках DD₁F и D₁C₁M
Обозначаем их α и β
Причем α+β=90° - сумма острых улов прямоугольных треугольников DD₁F и D₁C₁M
Рассматриваем треугольник D₁FE
В нем тоже есть один угол α и один угол β, значит третий угол 90°
Прямые DF и D₁M перпендикулярны.
D₁M || A₁T
Значит
DF⊥ A₁T
б) DC || AB
DC ⊥ CC₁
Значит АВ ⊥ CC₁
Ответ угол между прямыми АВ и CC₁ - прямой
в) cм. рисунок 2
Проводим QD₁ || B₁F
D₁H|| A₁K
Из треугольника QKH
Обозначим сторону куба х
По теореме Пифагора
QH²=x²+x²
QH=x√2
Q₁D₁=D₁H=x√5/2 по теореме Пифагора
( cм рисунок слева)
Из QD₁H по теореме косинусов:
(х√2)²=(х√5/2)²+(х√5/2)²-2·(х√5/2)·(х√5/2)·cos ω
ω- угол между QD₁ и D₁H, а значит и между A₁K и B₁F
2x²=5x²/4 + 5x²/4 -10x³/4 · cos ω
cosω=1/5
Ответ 1/5