1) Дано:

m1 = m2 = m = 20 т = 20*10^3 кг

F = 6,67*10^(-5) Н

G = 6,67*10^(-11) (Н*м²) /кг²

R - ?

Решение:

F = (G*m1*m2)/R² = (G*m²)/R²

R² = (G*m²)/F

R = √((G*m²)/F) = m*√(G*/F) = 20*10^3*√(6,67*10^(-11)/6,67*10^(-5)) = 20*10^3*√(10^(-6)) = 20*10^3*10^(-3) = 20 м

Ответ: 20 м.

2) Дано:

M = 5,7*10^26 кг

R = 6*10^7 м

G = 6,67*10^(-11) (Н*м²) /кг²

g - ?

Решение:

Ускорение выражается из закона всемирного тяготения следующим образом:

Fтяг = Fтяж

(G*M*m)/R² = mg | : m

(G*M)/R² = g

Тогда ускорение на Сатурне равно:

g = (G*M)/R² = (6,67*10^(-11)*5,7*10^26)/(6*10^7)² = (6,67*10^(-11)*5,7*10^26)/(6²*10^14) = (6,67*5,7)/36 * (10^(-11)*10^26)/10^14 = (6,67*5,7)/36 * 10^15/10^14 = (6,67*5,7)/36 * 10 = 1,056... * 10 = 10,56 м/с²

Ответ: примерно 10,56 м/с².

3) Дано:

H = 2R

g(H + R) - ?

Решение:

g(H + R) - обозначение в скобках - это зависимость ускорения свободного падения от полного расстояния от рассматриваемой точки до центра Земли, которое складывается из высоты H над поверхностью Земли и радиуса R Земли.

g = (G*M)/R² = 9,8 - ускорение вблизи земной поверхности

g(H + R) = (G*M)/(H + R)² = (G*M)/(2R + R)² = (G*M)/(3R)² = (G*M)/(9R²) = ((G*M)/R²) : 9 = g/9 = 9,8/9 = 1,0888... = 1,09 м/с²

Ответ: примерно 1,09 м/с² (при g = 9,8 м/с²).

4) Дано:

F(H + R) = F/2

g = g_Земли/6

H - ?

Решение:

F(H + R) - обозначение в скобках - это зависимость силы от полного расстояния между центром Луны и точкой, в которой сила притяжения в 2 раза меньше. Полное расстояние складывается из высоты H над лунной поверхностью и радиуса R Луны.

Можно сразу сказать, что при силе, в 2 раза меньшей, ускорение тоже будет в 2 раза меньше. Тогда ответ будет  Однако покажем это:

F(H + R) = (G*M*m)/(H + R)²

F = (G*M*m)/R²

F(H + R) = F/2 => (G*M*m)/(H + R)² = ((G*M*m)/R²) : 2 = (G*M*m)/(2R²)

(G*M*m)/(H + R)² = (G*M*m)/(2R²) | : (G*M*m)

1/(H + R)² = 1/(2R²) => (H + R)² = 2R² => H + R = √2R

H = √2R - R = R*(√2 - 1)

H = R(√2 - 1)

g = (G*M)/R² => g(H + R) = (G*M)/(R(√2 - 1) + R)² = (G*M)/(R(√2 - 1 + 1))² = (G*M)/(√2*R)² = (G*M)/(2R²) = ((G*M)/R²) : 2 = g/2 - ускорение в 2 раза меньше.

В общем-то, вот эта строчка и будет являться ответом: H = R(√2 - 1). То, что ускорение на Луне в 6 раз меньше земного... по-моему с этой информацией ничего нельзя сделать, т.е. выражение для земного ускорения через параметры Земли не получится использовать, чтобы выразить отдельно и вычислить радиус Луны, при этом не зная её массы. Поэтому просто берём инфу из учебника:

R_Луны = 1,737*10^6 м

H = R(√2 - 1) = 1,737*10^6*(√2 - 1) = 719488,9578 = 719489 м = 719 км

Ответ: примерно 719 км.