Разделив уравнение на x², получаем уравнение y'=(y/x)²+y/x+1. Пусть u(x)=y/x⇒y=u*x⇒y'=u'*x+u. Заменяя теперь y на u, приходим к уравнению u'*x+u=u²+u+1, или u'*x=u²+1. Это уравнение приводится к виду du/(u²+1)=dx/x. Интегрируя обе части, находим arctg(u)=ln(x)+ln(C), или arctg(u)=ln(C*x). Отсюда u=y/x=tg[ln(C*x)] и y=x*tg[ln(C*x)]. Ответ: y=x*tg[ln(C*x)].
Answers & Comments
Verified answer
Разделив уравнение на x², получаем уравнение y'=(y/x)²+y/x+1. Пусть u(x)=y/x⇒y=u*x⇒y'=u'*x+u. Заменяя теперь y на u, приходим к уравнению u'*x+u=u²+u+1, или u'*x=u²+1. Это уравнение приводится к виду du/(u²+1)=dx/x. Интегрируя обе части, находим arctg(u)=ln(x)+ln(C), или arctg(u)=ln(C*x). Отсюда u=y/x=tg[ln(C*x)] и y=x*tg[ln(C*x)]. Ответ: y=x*tg[ln(C*x)].