Решите неравенство двумя способами: (я напишу только один пример, просто хочу по...

Энста1 @Энста1

July 2022 1 8 Report

Решите неравенство двумя способами: (я напишу только один пример, просто хочу посмотреть образец)
1) х^2-x-9<0

Answers & Comments

WhatYouNeed

Verified answer

Каким бы мы способом не решали, стоит разложить выражение на множители.

$\displaystyle x^2-x-9=0\\ D=(-1)^2 -4\cdot 1\cdot (-9)=1+36=37\\ \\ x_1 =\frac{-(-1)+\sqrt{D}}{2\cdot 1} =\frac{1+\sqrt{37}}{2} \\ \\ x_2 =\frac{-(-1)-\sqrt{D}}{2\cdot 1} =\frac{1-\sqrt{37}}{2} \\ \\ x^2-x-9=1\cdot (x-x_1)(x-x_2)=\bigg( x-\frac{1+\sqrt{37}}{2} \bigg) \bigg( x-\frac{1-\sqrt{37}}{2} \bigg)$

Тогда имеем: $\displaystyle \bigg( x-\frac{1+\sqrt{37}}{2} \bigg) \bigg( x-\frac{1-\sqrt{37}}{2} \bigg)$

1ый способ (через знак множителей):

Произведение будет отрицательным, если один из множителей отрицательный, а другой положительный.

$\begin{bmatrix}\begin{Bmatrix}\displaystyle x-\frac{1+\sqrt{37}}{2} >0\\ \displaystyle x-\frac{1-\sqrt{37}}{2} \frac{1+\sqrt{37}}{2} \\ \displaystyle x$

Ответ: $\displaystyle x\in \bigg( \frac{1-\sqrt{37}}{2} ;\frac{1+\sqrt{37}}{2} \bigg)$

2ой способ (метод интервалов):

Отмечаем на координатной прямой точки, в которых выражение обращается в ноль. И выкалываем их т.к. неравенство строгое (<, а не ≤). Мы получили 3 интервала. Перед множителями знак положителен, поэтому на правом интервале ставим "плюс", далее чередуем знак через каждую отмеченную точку (нету чётных степеней, где знак может не измениться). Нас интересует, когда меньше, поэтому выбираем интервалы с минусом.

Ответ: $\displaystyle x\in \bigg( \frac{1-\sqrt{37}}{2} ;\frac{1+\sqrt{37}}{2} \bigg)$

3ий способ (графический):

y = x²-x-9

Это парабола, ветви которой направлены вверх. У функции есть два нуля:

$\displaystyle x_1 =\frac{1+\sqrt{37}}{2} ;\qquad x_2 =\frac{1-\sqrt{37}}{2}$ . Нас интересует, когда меньше нуля, это когда график ниже оси Ox.

Ответ: $\displaystyle x\in \bigg( \frac{1-\sqrt{37}}{2} ;\frac{1+\sqrt{37}}{2} \bigg)$

4 votes Thanks 7

Answers & Comments

Verified answer

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social