Verified answer

Ответ:

(-∞; -3)∪(1; +∞)

Пошаговое объяснение:

Дано неравенство x²+2·x-3>0.

Рассматривается функцию y=x²+2·x-3. Находим нули функции:

x²+2·x-3=0 ⇔ D=2²-4·1·(-3)=4+12=16=4², x₁=(-2-4)/2=-3, x₂=(-2+4)/2=1.

Значит, только при x₁=-3 и x₂=1 функция y=x²+2·x-3 обращается в 0.

Решение можно продолжит несколькими способами:

1-способ. Используем свойства параболы:

а) коэффициент перед x² равен 1>0 и поэтому ветви направлены вверх;

б) так как ветви параболы направлены вверх и пересекает ось Ox в точках x₁=-3 и x₂=1, то только на промежутке (-3 ; 1) функция y=x²+2·x-3 отрицательна;

в) в силу вышесказанных x²+2·x-3>0 только на множестве

(-∞; -3)∪(1; +∞).

2-способ. Используем метод интервалов:

а) так как x₁=-3 и x₂=1 функция y=x²+2·x-3 обращается в 0, то функция представима в виде y=(x+3)·(x-1);

б) точки x₁=-3 и x₂=1 делят ось Ox на промежутки (-∞; -3), (-3 ; 1) и (1; +∞), в каждом из которых функция сохраняет знак;

в) при -5∈(-∞; -3): y=(-5)²+2·(-5)-3=25-10-3=12>0, то есть для любого

x∈(-∞; -3) функция y=x²+2·x-3>0;

при 0∈(-3; 1): y=0²+2·0-3=0-0-3= -3<0, то есть для любого x∈(-3; 1) функция y=x²+2·x-3<0;

при 2∈(1; +∞): y=2²+2·2-3=4+4-3=5>0, то есть для любого

x∈(1; +∞) функция y=x²+2·x-3>0;

г) функция y=x²+2·x-3>0 при x∈(-∞; -3)∪(1; +∞), отсюда следует, что x²+2·x-3>0 только на множестве

(-∞; -3)∪(1; +∞).