Verified answer

5. lim(x→∞) (ln(x²+eˣ)/ln(x⁴+e²ˣ))  Это неопределённость ∞/∞.

lim(x→∞) (ln(x²+eˣ)'/ln(x⁴+e²ˣ))'=

=lim(x→∞) ((2x+eˣ)(x⁴+e²ˣ)/((x²+eˣ)(4x³+2*e²ˣ)))=

=lim(x→∞) ((2x⁵+x⁴eˣ+2x*e²ˣ+e³ˣ)/(4x⁵+4x³eˣ+2x²e²ˣ+2e³ˣ))

Это неопределённость ∞/∞.

Разделим одновременно числитель и знаменатель на e³ˣ:

lim(x→∞) ((2x⁵/e³ˣ+x⁴/e²ˣ+2x/eˣ+1)/(4x⁵/e³ˣ+4x³/e²ˣ+2x²/eˣ+2)).

Воспользуемся формулой свойства пределов lim(x→∞) (xⁿ/eˣ)=0:

lim(x→∞) ((2*0+0+2*0+1)/(4*0+4*0+2*0+2))=lim(x→∞) (1/2)=1/2.