РЕШИТЕ ПОЖАЛУЙСТА
На координатной плоскости дана точка М = (2;4). Рассматриваются треугольники, у которых две вершины симметричны относительно оси Оу и лежат на дуге параболы у = Зх², выделяемой условием — 1 ≤ х ≤ 1, а точка М является серединой одной из сторон. Среди этих треугольников выбран тот, который имеет наибольшую площадь. Найти эту площадь.
На координатной плоскости дана точка М = (2;4). Рассматриваются треугольники, у которых две вершины симметричны относительно оси Оу и лежат на дуге параболы у = Зх², выделяемой условием — 1 ≤ х ≤ 1, а точка М является серединой одной из сторон. Среди этих треугольников выбран тот, который имеет наибольшую площадь. Найти эту площадь.
Answers & Comments
Verified answer
Основание треугольника АВ соединяет точки (-х;3x^2) и (х;3x^2)длина аснования |2х|
точка М лежит на середине стороны АС (или ВС) значит точка М лежит на средней линии треугольника АВС расстояние от прямой, содержащей основание AB, до точки М равно половине высоты треугольника и равно 4-y , где у - координата точек основания.
искомая площадь вычисляется по формуле
S(х) = АВ*h/2 = |2х*(4-3*х^2)|
искомая площадь - максимальная из возможных - ищем локальный экстремум
S`(x) =8-18*х^2=0 при х^2=8/18=4/9 и |x|=(2/3)
S= |2х*(4-3*х^2)| = 2*(2/3)*(4-3*4/9) = 32/9 = 3,(5) ~ 3,6