Verified answer

AD - общая касательная двух окружностей. ЕМ = √129.

Поэтому угол О2ДЕ равен углу ДО1М как половины равных взаимно перпендикулярных углов.

Используем равенство тангенсов этих углов. Пусть ЕД = в.

4/в = ДМ/8. Заменим ДМ = (√129) - в.

4/в = ((√129) - в)/8,

32 = √129*в - в². Получили квадратное уравнение:

в² - √129*в + 32 = 0.   Д = 129 - 4*32 =129 - 128 = 1.

в1 = (√129 - 1 )/2,  в2 = (√129 + 1 )/2.

Собственно в1 = ЕД, а в2 = ДМ, так как вы сумме равны ЕМ = √129.

По свойству касательной ЕД = ДР =  ((√129 - 1 )/2) ≈ 5,18.

Отрезок РН равен 1 как разность ЕД и ДМ.

Теперь перейдём к рассмотрению половин заданных углов.

Примем отрезок РА = х.

tg(О2РА) = 4/х,  tg(О1НА) = 8/(х - 1).

В соответствии с заданием угол О1НА равен двум углам О2РА = α.

Используем формулу двойного угла:  tg 2α = 2tg α/(1 - tg²α).

Подставим значение tg α = 4/х.

tg 2α = (2*(4/х))/(1 - 16/х²) = 8х/(х² - 16).

Приравняем полученное значение ранее определённому.

8х/(х² - 16) = 8/(х - 1),

8х² - 8х = 8х² - 128,

8х = 128,

х = 128/8 = 16. Это длина отрезка АР.

Отсюда ответ: АД = АР + ДР = 16 + (((√129) - 1 )/2) = (31 + √129)/2.

Это значение примерно равно 21,18.