Первое неравенство. Решить как квадратное уравнение:
х²-4х+3=8
х²-4х+3-8=0
х²-4х-5=0, ищем корни:
х₁,₂=(4±√16+20)/2
х₁,₂=(4±√36)/2
х₁,₂=(4±6)/2
х₁= -2/2
х₁= -1
х₂=10/2
х₂=5
Начертим СХЕМУ параболы (ничего вычислять не нужно), которую выражает уравнение, ветви направлены вверх, парабола пересекает ось Ох при х= -1 и х=5. По графику ясно видно, что у<=0 при х от -1 до 5, то есть, решения неравенства находятся в интервале
х∈ [-1, 5], это решение первого неравенства.
Неравенство нестрогое, значения х= -1 и х=5 входят в число решений неравенства, скобки квадратные.
Второе неравенство. Также решим как квадратное уравнение, удобнее определять интервалы решений неравенства:
(x-3)(x-1)>0
х²-х-3х+3>0
х²-4х+3>0, ищем корни:
х₁,₂=(4±√16-12)/2
х₁,₂=(4±√4)/2
х₁,₂=(4±2)/2
х₁=2/2
х₁=1
х₂=6/2
х₂=3
Снова чертим СХЕМУ параболы (ничего вычислять не нужно), которую выражает уравнение, ветви направлены вверх, парабола пересекает ось Ох при х= 1 и х=3. По графику ясно видно, что у>0 при х влево и вправо от точек пересечения параболой оси Ох, то есть,
х∈(-∞, 1)∪(3, +∞). Это решение второго неравенства.
Неравенство строгое, скобки круглые.
Теперь нужно найти пересечение решений неравенств, то есть, такое решение, которое подходит и первому, и второму неравенствам.
На числовой оси отмечаем точки -1, 1, 3, 5. Наносим штриховку в соответствии с двумя решениями.
Находим пересечение: x∈[-1, 1)∪(3, 5], то есть решения системы неравенств находятся в интервале при х от -1 до 1, и от 3 до 5.
Значения х= -1 и х=5 входят в число решений системы, скобка квадратная, значения х=1 и х=3 не входят в число решений, скобка круглая.
Answers & Comments
Ответ:
x∈[-1, 1)∪(3, 5]
Объяснение:
Решить систему неравенств:
х²-4х+3<=8
(x-3)(x-1)>0
Первое неравенство. Решить как квадратное уравнение:
х²-4х+3=8
х²-4х+3-8=0
х²-4х-5=0, ищем корни:
х₁,₂=(4±√16+20)/2
х₁,₂=(4±√36)/2
х₁,₂=(4±6)/2
х₁= -2/2
х₁= -1
х₂=10/2
х₂=5
Начертим СХЕМУ параболы (ничего вычислять не нужно), которую выражает уравнение, ветви направлены вверх, парабола пересекает ось Ох при х= -1 и х=5. По графику ясно видно, что у<=0 при х от -1 до 5, то есть, решения неравенства находятся в интервале
х∈ [-1, 5], это решение первого неравенства.
Неравенство нестрогое, значения х= -1 и х=5 входят в число решений неравенства, скобки квадратные.
Второе неравенство. Также решим как квадратное уравнение, удобнее определять интервалы решений неравенства:
(x-3)(x-1)>0
х²-х-3х+3>0
х²-4х+3>0, ищем корни:
х₁,₂=(4±√16-12)/2
х₁,₂=(4±√4)/2
х₁,₂=(4±2)/2
х₁=2/2
х₁=1
х₂=6/2
х₂=3
Снова чертим СХЕМУ параболы (ничего вычислять не нужно), которую выражает уравнение, ветви направлены вверх, парабола пересекает ось Ох при х= 1 и х=3. По графику ясно видно, что у>0 при х влево и вправо от точек пересечения параболой оси Ох, то есть,
х∈(-∞, 1)∪(3, +∞). Это решение второго неравенства.
Неравенство строгое, скобки круглые.
Теперь нужно найти пересечение решений неравенств, то есть, такое решение, которое подходит и первому, и второму неравенствам.
На числовой оси отмечаем точки -1, 1, 3, 5. Наносим штриховку в соответствии с двумя решениями.
Находим пересечение: x∈[-1, 1)∪(3, 5], то есть решения системы неравенств находятся в интервале при х от -1 до 1, и от 3 до 5.
Значения х= -1 и х=5 входят в число решений системы, скобка квадратная, значения х=1 и х=3 не входят в число решений, скобка круглая.