х=12/у

х^2-144/х^2=7

(х^4-144)/x^2=7

x^4-144=7x^2

7x^2-x^4+144=0

x^2=t

7t^2-t+144=0

D=625

t=9 or t=-16 => x^2=9 x=3;

xy=12

y=4 

x^2 - y^2 = 7  //// ^2 - число в квадрате

xy = 12

Из второго уравнения выражаем переменную на ваш вкус, а я выражу x

x = 12/y

Подставим в первое уравнение вместо x

(12/y)^2 - y^2 = 7

144/y^2 - y^2 = 7

(144 - y^4)/y^2 = 7

144 - y^4 = 7y^2

y^4 + 7y^2 - 144 = 0

Пусть y^2 = t         \\\\ ОДЗ: t >= 0

t^2 + 7t - 144 = 0

По Виета определяем корни :

t1 = -16     t2 = 9                     //// t1 не подходит так как число в квадрате не может быть отрицательным

Подставляем в месте замены ( напоминаю что мы заменили y^2 на t)

y^2 = 9

y = +-3

Теперь подставим эти корни в уравнение из системы уравнений ( удобней во второе так как там нет квадратов) и найдём y:

x = 12/y

x = +-4

Ответ: (4;3) (-4;-3)           \\\\ (x;y)