Симпатичная задача на знание теоремы Виета. Если Вы до сих пор эту теорему не любили, надеюсь Ваше отношение к ней сейчас изменится. Кстати есть теорема Виета для уравнений нет только второй степени, но и любой другой степени.
Обозначим x+y=a; xy=b, тогда a+b=1; ab= - 30 (если не поняли, поясняю - во втором уравнении я вынес за скобку xy); значит, a и b являются решениями квадратного уравнения t^2 - 1·t - 30=0; (t - 6)(t+5)=0 (если так не умеете, вычисляйте дискриминант); t=6 или t= - 5. Дальше два случая.
1. a=6; b= - 5⇒ x+y=6; xy=-5. Опять Виет! и y являются корнями уравнения t^2-6t-5=0; тут корни плохие, поэтому вычисляем с помощью дискриминанта, t=3+√14 или t=3-√14; для первоначальной системы это дает два решения (3+√14;3-√14) и (3-√14;3+√14).
2. a= - 5; b=6⇒x+y= - 5; xy=6; t^2+5t - 6 =0; (t-1)(t+6); t=1 или t=-6; получаем еще два решения: (1;-6) и (-6;1)
Answers & Comments
Verified answer
Симпатичная задача на знание теоремы Виета. Если Вы до сих пор эту теорему не любили, надеюсь Ваше отношение к ней сейчас изменится. Кстати есть теорема Виета для уравнений нет только второй степени, но и любой другой степени.Обозначим x+y=a; xy=b, тогда
a+b=1; ab= - 30 (если не поняли, поясняю - во втором уравнении я вынес за скобку xy);
значит, a и b являются решениями квадратного уравнения
t^2 - 1·t - 30=0; (t - 6)(t+5)=0 (если так не умеете, вычисляйте дискриминант);
t=6 или t= - 5.
Дальше два случая.
1. a=6; b= - 5⇒ x+y=6; xy=-5. Опять Виет! и y являются корнями уравнения t^2-6t-5=0; тут корни плохие, поэтому вычисляем с помощью дискриминанта, t=3+√14 или t=3-√14;
для первоначальной системы это дает два решения
(3+√14;3-√14) и (3-√14;3+√14).
2. a= - 5; b=6⇒x+y= - 5; xy=6; t^2+5t - 6 =0; (t-1)(t+6); t=1 или t=-6;
получаем еще два решения:
(1;-6) и (-6;1)