Проведем из точки О перпендикуляры к ребрам основания:
ОК⊥АВ, OL⊥BC, ON⊥CD, OP⊥AD.
Эти отрезки - проекции наклонных МК, ML, MN и МР на плоскость основания, значит и MK⊥AB, ML⊥BC, MN⊥CD и MP⊥AD по теореме о трех перпендикулярах, т.е. MK, ML, MN и МР - высоты боковых граней, а ∠МКО = ∠MLO = ∠MNO = ∠MPO = 60° - линейные углы двугранных углов между боковыми гранями и основанием.
ΔMKO = ΔMLO = ΔMNO = ΔMPO по катету (МО - общий) и противолежащему острому углу, значит
ОК = OL = ON = OP и О - центр вписанной окружности, и
МК = ML = MN = MP, т.е. высоты боковых граней равны.
Если высоты боковых граней пирамиды равны, то площадь боковой поверхности находится как произведение полупериметра основания на высоту боковой грани:
Sбок = 1/2 Pabcd · МК
Если в четырехугольник вписана окружность, то суммы его противолежащих сторон равны:
AB + CD = AD + BC
Pabcd = AB + CD + AD + BC = 2(AB + CD) = 2 · (7 + 9) = 32
Answers & Comments
Verified answer
Ответ: 128
Объяснение:
Проведем из точки О перпендикуляры к ребрам основания:
ОК⊥АВ, OL⊥BC, ON⊥CD, OP⊥AD.
Эти отрезки - проекции наклонных МК, ML, MN и МР на плоскость основания, значит и MK⊥AB, ML⊥BC, MN⊥CD и MP⊥AD по теореме о трех перпендикулярах, т.е. MK, ML, MN и МР - высоты боковых граней, а ∠МКО = ∠MLO = ∠MNO = ∠MPO = 60° - линейные углы двугранных углов между боковыми гранями и основанием.
ΔMKO = ΔMLO = ΔMNO = ΔMPO по катету (МО - общий) и противолежащему острому углу, значит
ОК = OL = ON = OP и О - центр вписанной окружности, и
МК = ML = MN = MP, т.е. высоты боковых граней равны.
Если высоты боковых граней пирамиды равны, то площадь боковой поверхности находится как произведение полупериметра основания на высоту боковой грани:
Sбок = 1/2 Pabcd · МК
Если в четырехугольник вписана окружность, то суммы его противолежащих сторон равны:
AB + CD = AD + BC
Pabcd = AB + CD + AD + BC = 2(AB + CD) = 2 · (7 + 9) = 32
ΔMOK: sin∠MKO = MO / MK
MK = MO / sni60° = 4√3 / (√3/2) = 8
Sбок = 1/2 · 32 · 8 = 128