Решите уравнение:arcctgx=arcsinx. Created by Orlov100. algebra-ru

Определим ОДЗ. Арккотангенс определен для любых чисел, а арксинус - только для чисел из отрезка . Таким образом:Найдем синус левой и правой части:Рассмотрим левую часть уравнения. В числителе записано положительное число, в знаменателе стоит квадратный корень, который может принимать только положительные значения. Таким образом, левая часть уравнения положительна, а значит и правая часть уравнения должна быть положительна:Учитывая это, возводим в квадрат обе части уравнения:Заметим, что одно из уравнений, а именно , не имеет корней, так как квадрат числа не может принимать отрицательных значений.Рассматриваем другое уравнение:Вновь заметим, что один из найденных корней не соответствует ранее записанному ограничению .Значит, единственный корень уравнения:Убедится, что он отвечает требованиям ОДЗ, можно с помощью следующих рассуждений:Ответ:

Решите уравнение:arcctgx=arcsinx...

Orlov100 @Orlov100

July 2022 1 11 Report

Решите уравнение:

arcctgx=arcsinx

Answers & Comments

Artem112

Verified answer

$\mathrm{arcctg}\, x=\arcsin x$

Определим ОДЗ. Арккотангенс определен для любых чисел, а арксинус - только для чисел из отрезка $[-1;\ 1]$ . Таким образом:

$x\in[-1;\ 1]$

Найдем синус левой и правой части:

$\sin(\mathrm{arcctg}\, x)=\sin(\arcsin x)$

$\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2} }=x$

Рассмотрим левую часть уравнения. В числителе записано положительное число, в знаменателе стоит квадратный корень, который может принимать только положительные значения. Таким образом, левая часть уравнения положительна, а значит и правая часть уравнения должна быть положительна:

$x>0$

Учитывая это, возводим в квадрат обе части уравнения:

$\left(\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2} }\right)^2=x^2$

$\dfrac{1}{1+x^2 }=x^2$

$x^2(1+x^2)=1$

$x^4+x^2-1=0$

$D=1-4\cdot1\cdot(-1)=5$

$x^2=\dfrac{-1\pm\sqrt{5} }{2}$

Заметим, что одно из уравнений, а именно $x^2=\dfrac{-1-\sqrt{5} }{2}$ , не имеет корней, так как квадрат числа не может принимать отрицательных значений.