По свойству медиан BM:BB1=2:3, поэтому BB1=3BM/2=AC/2, т.к. BM=AC/3.. Значит AB1=BB1=B1C. Т.е. AC - диаметр окружности описанной вокруг треугольника ABC. Значит угол B = 90 градусов, т.к. по свойству углов вписанных в окружность, угол B равен половине центрального угла, на который опирается, а опирается он на развернутый угол..
1 votes Thanks 1
danyaovsyannik
Реши ещё дополнение к этой задаче: AC=12, найти:AA1^2+CC1^2 (сумма квадратов двух других медиан)
Denik777
Есть такое свойство: у параллелограмма сумма квадратов сторон равна сумме квадратов диагнолаей. Достраиваешь ABC до параллелограмма ABCA', продлевая AA1 на свою длину и получаешь равенство:4AA1^2+BC^2=2AB^2+2AC^2 Аналогично, продлевая CC1 имеем 4CC1^2+AB^2=2BC^2+AC^2. Складываешь эти два равенства и применяешь теорему Пифагора, что AB^2+BC^2=AC^2. В итоге получается 4(AA1^2+CC1^2)+AC^2=2AC^2+4AC^2, т.е. AA1^2+CC1^2=5AC^2. Отсюда находишь ответ.
Denik777
В 4 строчке в конце надо +2AC^2, а не ..+AC^2
Answers & Comments
Verified answer
По свойству медиан BM:BB1=2:3, поэтому BB1=3BM/2=AC/2, т.к. BM=AC/3.. Значит AB1=BB1=B1C. Т.е. AC - диаметр окружности описанной вокруг треугольника ABC. Значит угол B = 90 градусов, т.к. по свойству углов вписанных в окружность, угол B равен половине центрального угла, на который опирается, а опирается он на развернутый угол..Аналогично, продлевая CC1 имеем 4CC1^2+AB^2=2BC^2+AC^2.
Складываешь эти два равенства и применяешь теорему Пифагора, что AB^2+BC^2=AC^2. В итоге получается 4(AA1^2+CC1^2)+AC^2=2AC^2+4AC^2, т.е. AA1^2+CC1^2=5AC^2. Отсюда находишь ответ.