Рассмотрим ромб, у которого острый угол достаточно большой (больше 60°) (иначе описанные ниже построения не получатся)
Выполним построение:
1. Отметим M -- середину отрезка AB
2. Отметим точку H на отрезке AM, она должна лежать ближе к точке M (иначе п. 4 не выполнится)
3. Проведём через точку Н прямую a ⊥ AB.
4. Отметим точку N -- пересечение прямой a и отрезка CD.
5. Построим точку E на стороне AB, при этом AH = HE
6. Аналогично строим точку F на стороне CD: DN = NF
7. Проводим EF.
8. AEFD и EBCF -- искомое деление на две равнобокие трапеции.
Докажем, что ромб был разделён на две равнобокие трапеции:
Итак, имеем четырёхугольник ADFE.
В нём AE || DF (отрезки лежат на параллельных сторонах ромба),
а AD ∩ EF(*см. ниже).
Следовательно, ADFE -- трапеция (по опр.).
Чтобы доказать, что трапеция равнобокая, используем следующую теорему:
Если прямая, проходящая через середины оснований трапеции, перпендикулярна её основаниям, то трапеция равнобокая.
По построениям AH = HE, DN = NF, HN ⊥ AE ⇒ ADFE -- равнобокая трапеция, то есть AD = EF.
Рассмотрим четырёхугольник EBCF:
EB || CF (отрезки лежат на параллельных сторонах ромба).
AD ∩ EF, AD || BC (ромб) ⇒ BC ∩ EF
Следовательно, EBCF -- трапеция (по опр.).
Так как ABCD -- ромб, то AD = BC ⇒ EF = BC ⇒ EBCF -- равнобокая трапеция.
Построения обоснованы.
Решение:
Из доказательства выше было получено: AD = EF = BC.
Из формулы периметра ромба имеем:
По условию:
Сложим оба периметра:
С другой стороны:
Имеем:
Ответ: 10
(*) Данный факт доказывается от противного.
Допустим, что AD || EF.
Тогда AE || DF, AD || EF ⇒ ADFE -- параллелограмм ⇒ AE = DF.
Прямая а -- средняя линия (по постр.), то есть, a || AD, тогда AD ⊥ CD ⇒ ABCD -- квадрат.
Квадрат нельзя разделить на равнобокие трапеции. Одна из сторон квадрата должна быть боковой стороной будущей трапеции. А части двух прилежащих сторон -- её основаниями. Так как AD ⊥ CD, то трапеция будет прямоугольной. Но трапеция не может быть и прямоугольной, и равнобедренной (она превращается в прямоугольник).
Answers & Comments
Ответ: 10
Объяснение:
Рассмотрим ромб, у которого острый угол достаточно большой (больше 60°) (иначе описанные ниже построения не получатся)
Выполним построение:
1. Отметим M -- середину отрезка AB
2. Отметим точку H на отрезке AM, она должна лежать ближе к точке M (иначе п. 4 не выполнится)
3. Проведём через точку Н прямую a ⊥ AB.
4. Отметим точку N -- пересечение прямой a и отрезка CD.
5. Построим точку E на стороне AB, при этом AH = HE
6. Аналогично строим точку F на стороне CD: DN = NF
7. Проводим EF.
8. AEFD и EBCF -- искомое деление на две равнобокие трапеции.
Докажем, что ромб был разделён на две равнобокие трапеции:
Итак, имеем четырёхугольник ADFE.
В нём AE || DF (отрезки лежат на параллельных сторонах ромба),
а AD ∩ EF (*см. ниже).
Следовательно, ADFE -- трапеция (по опр.).
Чтобы доказать, что трапеция равнобокая, используем следующую теорему:
Если прямая, проходящая через середины оснований трапеции, перпендикулярна её основаниям, то трапеция равнобокая.
По построениям AH = HE, DN = NF, HN ⊥ AE ⇒ ADFE -- равнобокая трапеция, то есть AD = EF.
Рассмотрим четырёхугольник EBCF:
EB || CF (отрезки лежат на параллельных сторонах ромба).
AD ∩ EF, AD || BC (ромб) ⇒ BC ∩ EF
Следовательно, EBCF -- трапеция (по опр.).
Так как ABCD -- ромб, то AD = BC ⇒ EF = BC ⇒ EBCF -- равнобокая трапеция.
Построения обоснованы.
Решение:
Из доказательства выше было получено: AD = EF = BC.
Из формулы периметра ромба имеем:
По условию:
Сложим оба периметра:
С другой стороны:
Имеем:
Ответ: 10
(*) Данный факт доказывается от противного.
Допустим, что AD || EF.
Тогда AE || DF, AD || EF ⇒ ADFE -- параллелограмм ⇒ AE = DF.
Прямая а -- средняя линия (по постр.), то есть, a || AD, тогда AD ⊥ CD ⇒ ABCD -- квадрат.
Квадрат нельзя разделить на равнобокие трапеции. Одна из сторон квадрата должна быть боковой стороной будущей трапеции. А части двух прилежащих сторон -- её основаниями. Так как AD ⊥ CD, то трапеция будет прямоугольной. Но трапеция не может быть и прямоугольной, и равнобедренной (она превращается в прямоугольник).
Получаем противоречие. Значит AD ∩ EF.