Ответ:
Позначимо точку перетину медіан трикутника АВС через М.
За властивостями медіан трикутника:
AM:MB = AS:SС = 1:2
BM:MC = BV:VC = 1:2
CM:MA = CW:WA = 1:2
Звідси AM = BM = CM = 2/3 ММ'
Розглянемо трикутник AMM'. Він є півтрикутником, бо медіана АМ є його висотою, а відрізок MM' ділить його на дві рівні частини.
Довжина AM дорівнює 2/3 довжини медіани трикутника АВС, тобто
AM = 2/3 * 2/3 * AA' = 4/9 AA'
Аналогічно, BM = 4/9 BB', CM = 4/9 CC'
Запишемо формулу для площі трикутника АВС через довжини медіан:
S = 3/4 * (MA * MB * MC)^0.5
Підставимо в неї знайдені довжини медіан:
S = 3/4 * (8/27 * AA' * BB' * CC')^0.5
Оскільки площа трикутника А'В'С' дорівнює S, то
S' = 3/4 * (AA' * B'B * CC')^0.5
Поділимо обидві формули одна на одну:
S/S' = (8/27 * AA' * BB' * CC')^0.5 / (AA' * BB' * CC')^0.5
S/S' = (8/27) ^0.5 = 4/9
Звідси
S = 4/9 * S'
Відповідь: площа трикутника АВС дорівнює 4/9 від площі трикутника А'В'С'.
Copyright © 2024 SCHOLAR.TIPS - All rights reserved.
Answers & Comments
Ответ:
Позначимо точку перетину медіан трикутника АВС через М.
За властивостями медіан трикутника:
AM:MB = AS:SС = 1:2
BM:MC = BV:VC = 1:2
CM:MA = CW:WA = 1:2
Звідси AM = BM = CM = 2/3 ММ'
Розглянемо трикутник AMM'. Він є півтрикутником, бо медіана АМ є його висотою, а відрізок MM' ділить його на дві рівні частини.
Довжина AM дорівнює 2/3 довжини медіани трикутника АВС, тобто
AM = 2/3 * 2/3 * AA' = 4/9 AA'
Аналогічно, BM = 4/9 BB', CM = 4/9 CC'
Запишемо формулу для площі трикутника АВС через довжини медіан:
S = 3/4 * (MA * MB * MC)^0.5
Підставимо в неї знайдені довжини медіан:
S = 3/4 * (8/27 * AA' * BB' * CC')^0.5
Оскільки площа трикутника А'В'С' дорівнює S, то
S' = 3/4 * (AA' * B'B * CC')^0.5
Поділимо обидві формули одна на одну:
S/S' = (8/27 * AA' * BB' * CC')^0.5 / (AA' * BB' * CC')^0.5
S/S' = (8/27) ^0.5 = 4/9
Звідси
S = 4/9 * S'
Відповідь: площа трикутника АВС дорівнює 4/9 від площі трикутника А'В'С'.