Задача 1.  Мяч брошен с высоты 10 метров вертикальновверх со скоростью 14метров в секунду. Через какое время он упадет на землю?

Можнонайти время движения мяча как сумму времени равнозамедленного движения вверх ивремени равноускоренного падения мяча от точки максимальной высоты до земли.

Вариант решения 1. Время t1 найдем,понимая, что в точке максимальной высоты (В) скорость мяча уменьшилась до нуля.

                           ,

          .   

При движении вниз:

             ,

                   ,

                                 ,

                      , тогда t = 1,4 + 2 = 3,4 (с).

Вариант решения 2. Решимэту же задачу координатным методом. Для этого на рисунке изобразим векторафизических величин.

Так какдвижение мяча происходит под действием силы тяжести (силой трения воздухатрадиционно пренебрегаем), это движение является равноускоренным, с ускорениемсвободного падения g. Запишем законравноускоренного движения в векторной форме:

                                  .

Дляработы с векторным уравнением создадим систему отсчета и спроецируем слагаемыена вертикальную ось. Начало отсчета выберем на земле, ось направим вверх. Извекторного уравнения получаем скалярное:

                                     .

Этоуравнение движения, т. е. выражение, позволяющее решать основную задачумеханики – найти координату тела в любой момент времени.

Самоеважное здесь понять, что этим единственным уравнением описаны оба участкадвижения – и равнозамедленное вверх, и равноускоренное вниз. Подставляякоординату точки падения мяча (х=0), получим:

     , где t – время движения мяча.

Используячисленные значения известных величин, решаем задачу.

,

.

Посколькуотрицательный корень не будет иметь физического смысла, решением задачиявляется t = 3,4 c.

Преимуществопредложенного метода выглядит более наглядным при решении более сложных задач.

Задача 2. Найтидальность и время полета тела, брошенного со скоростью , под углом α кгоризонту.

Соответственнохарактеру движения записываем закон в векторной форме:

                                        .

Далее необойтись без системы отсчета (см. рисунок).

Проецируемуравнение на оси Х и У:

.

Этасистема уравнений, выражая законы измерения горизонтальной и вертикальнойкоординат, позволяет решать основную задачу механики для любого моментавремени. Из полученной системы следует еще один важный вывод: мы можемрассматривать движение тела по криволинейной траектории, как одновременносовершающиеся два движения: равномерное по горизонтали и равноускоренное повертикали.

Подставляяв систему координаты точки падения тела на землю (х = l;        y=0), получаем:

.

В даннойсистеме t – время всего полета тела.

Отвечаяна вопрос задачи, запишем:

,

.

Уравнениедвижения в векторной форме:

.

Работаяс ним в выбранной системе отсчета, получаем:

.

Отмечаяравномерность горизонтального перемещения тела, заключаем, что горизонтальнаясоставляющая скорости мальчика остается постоянной на протяжении всего полета.Восстановив перпендикуляр от вектора горизонтальной составляющей скорости вточке касания воды до пересечения с касательной к траектории, получим векторискомой скорости .

.

Модульскорости .

Значениевертикальной составляющей скорости вхождения в воду узнаем, взяв производную отуравнения изменения координаты y:

, где t – время полета, которое найдем, учтяравенство нулю (в нашей системе отсчета) вертикальной координаты точкивхождения в воду:

   ,

,

.

(Знак  « – » связанс направлением вертикальной скорости в выбранной нами системе отсчета)

.

Дляопределения направления этой скорости найдем тангенс угла между векторомскорости и вертикалью:   ,     .

Задача 4.  Электрон влетел в электрическое поле,созданное двумя разноименно заряженными пластинами плоского конденсатора, соскоростью  (<<c) на равном расстоянии от них.Расстояние между пластинами d, длинапластин L (L>>d). При какой минимальной разностипотенциалов между пластинами конденсатора электрон не вылетит из него?

.

Зависимостькоординат частицы от времени получим, проецируя векторное уравнение на осикоординат:

,

где а – ускорение, сообщаемое электронуэлектрическим полем.

Приминимальной разности потенциалов между пластинами, которые не позволят частицевылететь из конденсатора, электрон попадает на самый край положительнойпластины с координатами  х= L,  .

   ,

где t – время движения электрона до этойточки.

Повторому закону Ньютона:

,          

 ,

.

Отсюда

.

Изсистемы уравнений находим ускорение:

; ,

.

Получаемответ задачи:  

.

Рассмотренныепримеры позволяют сделать заключение, что во многих случаях, когда в условиизадачи говорится о равноускоренном движении тела, можно организовать решение ивывести различные расчетные формулы на единой основе, используя векторнуюзапись уравнения движения и осмысленную работу с ним в конкретной системеотсчета.