Verified answer

Ответ:

• Углы с соответственно перпендикулярными сторонами или равны (если оба острые или оба тупые) или составляют в сумме 180° (если один острый, а другой тупой).

1.

Дано:

∠ВАС и ∠ВОС - острые,

АВ⊥ОВ, АС⊥ОС.

Доказать:

∠ВАС = ∠ВОС.

Доказательство:

Построим ∠3 с вершиной в точке О так, чтобы стороны этого угла были соответственно параллельны сторонам угла 1:

ОК║АС, ОВ║АВ.

∠3 = ∠1 по свойству углов с соответственно параллельными сторонами.

Прямая, перпендикулярная одной из параллельных прямых, перпендикулярна и другой прямой.

ОС⊥АС, АС║ОК, значит ОС⊥ОК,

ОВ⊥АВ, АВ║ОМ, значит ОВ⊥ОМ.

То есть ∠2 и ∠3 - острые углы с соответственно перпендикулярными сторонами.

∠ВОМ = ∠2 + ∠4 = 90°

∠КОС = ∠3 + ∠4 = 90°,   ⇒   ∠2 = ∠3, а следовательно

∠2 = ∠1.

Что и требовалось доказать.

2.

Дано:

∠ВАС - тупой, ∠ВОС - острый,

АВ⊥ОВ, АС⊥ОС.

Доказать:

∠ВАС + ∠ВОС = 180°.

Доказательство:

Построим ∠3, смежный с углом ВАС.

Так как ∠ВАС тупой, то ∠3 - острый.

Стороны угла 3 соответственно перпендикулярны сторонам угла 2:

АК⊥ОС, ОВ⊥АВ.

Так как ∠2 и ∠3 - острые углы с соответственно перпендикулярными сторонами, то они равны (доказано выше):

∠2 = ∠3.

Но ∠1 + ∠3 = 180° (смежные углы), значит

∠1 + ∠2 = 180°

Что и требовалось доказать.