Шар с отверстием колеблется на горизонтальном стержне, прикрепленный к пружине, ...

August 2022 1 34 Report

Шар с отверстием колеблется на горизонтальном стержне, прикрепленный к пружине, второй конец которой закреплен в стене. Через какую долю периода он пройдет четверть амплитуды от положения, где его скорость равна нулю?

Answers & Comments

logophobia

Verified answer

Скорость шара равна нулю, либо при максимальном сжатии пружины, либо при максимальном растяжении пружины. От этого положения, как от начального, уравнение движения можно записать так:

$x = A \cos{ \omega t } \ ,$

имея в виду, что в локальной окресности сжатия $x$ – это степень сжатия, а в локальной окрестности растяжения $x$ – это степень растяжения.

Тогда искомая точка: $x = \frac{3}{4}A \ ;$

$\frac{3}{4} A = A \cos{ \omega t } \ ,$

$\frac{3}{4} = \cos{ \omega t } \ ,$

$\frac{3}{4} \approx 1 - \frac{ (\omega t)^2 }{2} \ ,$

$\frac{ (\omega t)^2 }{2} \approx 1 - \frac{3}{4} \ ,$

$\frac{ (\omega t)^2 }{2} \approx \frac{1}{4} \ ,$

$(\omega t)^2 \approx \frac{1}{2} \ ,$

$\omega t \approx \frac{1}{ \sqrt{2} } \ ,$

$\omega = \frac{ 2 \pi }{T} \ ,$

$\frac{ 2 \pi }{T} t \approx \frac{1}{ \sqrt{2} } \ ,$

$t \approx \frac{T}{ 2 \sqrt{2} \pi } \approx 0.11 \ T \ .$

ЮрВас Спасибо!

ЮрВас После 3/4=wt пошло примерно. А если точно, то это как будет (без численных вычислений, а формула)?

ЮрВас arccos(3/4)/(2пи) правильно или нет?

logophobia inx = x - x³/6 + o(x³), так что относительная погрешность синуса относительно линейного приближения составляет примерно x²/6 в радианах,

или x²/60000 – в градусах.

Например для угла x = 30°, относительная пограешность синуса составляет 1.5% = 1/60,

а для угла x = 15°, относительная пограешность синуса составляет 0.4% = 1/250 .

logophobia Рассмотрим функцию c(x) = 1 - cosx = x²/2 - (x²)²/24 + o[(x²)²/24], так что относительная погрешность c(x) от квадратичного приближения составляет примерно x²/12 в радианах,

или x²/125 000 = 8x² / 1 000 000 – в градусах.

Например для угла x = 30°, относительная погрешность с(x) составляет 0.7% = 1/125,

а для угла x = 15°, относительная пограешность синуса составляет 0.2% = 1/500 .

logophobia Для обратной функции arcc(x) получится, что: arcc(x) = √[2x], а относительная погрешность составит: x/12

Когда cosx = 3/4, c(x) = 1/4, относительная погрешность составляет: (1/4)/12 = 2/100 = 2%

В итоге можно полагать, что: аrccos(x) = √[2(1-x)] c относительной погрешностью (1-x)/12 .

Даже для x = 0, по этой примитивной формуле окажется, что: аrccos(x) = √2 = 81°, т.е. относительная погрешность 10%, что как раз сходится с формулой.

logophobia Проверим для нашего случая.

arccos(3/4)/2π = 0.1150...

1/[2√2π] = 0.1125...

Относительная погрешность 0.1150/0.1125 - 1 = 0.02 = 2%

logophobia в первом куске первая буква s в синусе потерялась...

ЮрВас За эти объяснения спасибо. Но... Меня не численное значение в ответе интересует и не погрешность, а можно ли дальше получить формулу без "примерно равно"? arccos(3/4)/(2пи) я получил это правильно или нет? Вы, похоже, ещё не поняли, зачем мне это нужно.

logophobia Ну да, конечно, всё так. В общем виде без приближения именно arccos(1-1/4)/(2пи) или arccos(1-1/n)/(2пи), где 1/4 или 1/n – часть пройденной амплитуды. Но даже при n = 1 ошибка в пприлижении даст всего 10%. sqrt(2) против пи/2

Answers & Comments

Verified answer

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social