Шар с отверстием колеблется на горизонтальном стержне, прикрепленный к пружине, второй конец которой закреплен в стене. Через какую долю периода он пройдет четверть амплитуды от положения, где его скорость равна нулю?
Скорость шара равна нулю, либо при максимальном сжатии пружины, либо при максимальном растяжении пружины. От этого положения, как от начального, уравнение движения можно записать так:
имея в виду, что в локальной окресности сжатия – это степень сжатия, а в локальной окрестности растяжения – это степень растяжения.
logophobia
inx = x - x³/6 + o(x³), так что относительная погрешность синуса относительно линейного приближения составляет примерно x²/6 в радианах,
или x²/60000 – в градусах.
Например для угла x = 30°, относительная пограешность синуса составляет 1.5% = 1/60,
а для угла x = 15°, относительная пограешность синуса составляет 0.4% = 1/250 .
logophobia
Рассмотрим функцию c(x) = 1 - cosx = x²/2 - (x²)²/24 + o[(x²)²/24], так что относительная погрешность c(x) от квадратичного приближения составляет примерно x²/12 в радианах,
или x²/125 000 = 8x² / 1 000 000 – в градусах.
Например для угла x = 30°, относительная погрешность с(x) составляет 0.7% = 1/125,
а для угла x = 15°, относительная пограешность синуса составляет 0.2% = 1/500 .
logophobia
Для обратной функции arcc(x) получится, что: arcc(x) = √[2x], а относительная погрешность составит: x/12
logophobia
в первом куске первая буква s в синусе потерялась...
ЮрВас
За эти объяснения спасибо. Но... Меня не численное значение в ответе интересует и не погрешность, а можно ли дальше получить формулу без "примерно равно"? arccos(3/4)/(2пи) я получил это правильно или нет? Вы, похоже, ещё не поняли, зачем мне это нужно.
logophobia
Ну да, конечно, всё так. В общем виде без приближения именно arccos(1-1/4)/(2пи) или arccos(1-1/n)/(2пи), где 1/4 или 1/n – часть пройденной амплитуды. Но даже при n = 1 ошибка в пприлижении даст всего 10%. sqrt(2) против пи/2
Answers & Comments
Verified answer
Скорость шара равна нулю, либо при максимальном сжатии пружины, либо при максимальном растяжении пружины. От этого положения, как от начального, уравнение движения можно записать так:имея в виду, что в локальной окресности сжатия – это степень сжатия, а в локальной окрестности растяжения – это степень растяжения.
Тогда искомая точка:
или x²/60000 – в градусах.
Например для угла x = 30°, относительная пограешность синуса составляет 1.5% = 1/60,
а для угла x = 15°, относительная пограешность синуса составляет 0.4% = 1/250 .
или x²/125 000 = 8x² / 1 000 000 – в градусах.
Например для угла x = 30°, относительная погрешность с(x) составляет 0.7% = 1/125,
а для угла x = 15°, относительная пограешность синуса составляет 0.2% = 1/500 .
Когда cosx = 3/4, c(x) = 1/4, относительная погрешность составляет: (1/4)/12 = 2/100 = 2%
В итоге можно полагать, что: аrccos(x) = √[2(1-x)] c относительной погрешностью (1-x)/12 .
Даже для x = 0, по этой примитивной формуле окажется, что: аrccos(x) = √2 = 81°, т.е. относительная погрешность 10%, что как раз сходится с формулой.
arccos(3/4)/2π = 0.1150...
1/[2√2π] = 0.1125...
Относительная погрешность 0.1150/0.1125 - 1 = 0.02 = 2%