Ответ:

Для знаходження інтеграла ∫dx/sin³(x) скористаємося методом підстановки.

Проведемо підстановку u = cos(x), тоді du/dx = -sin(x) і dx = -du/sin(x).

Підставляючи це вираз для dx у вираз для інтеграла, отримаємо:

∫dx/sin³(x) = -∫du/(sin²(x) sin(x)) = -∫du/(1-u²) (-1/u²) = ∫du/(u²-1)

Далі, розкладемо дріб на прості доданки:

∫du/(u²-1) = 1/2 ∫(du/(u-1) - du/(u+1))

Застосуємо формулу логарифмічної підстановки для кожного з інтегралів:

∫du/(u-1) = ln|u-1| + C1

∫du/(u+1) = ln|u+1| + C2

Тоді, підставляючи назад вираз для u, отримаємо:

∫dx/sin³(x) = -1/2 (ln|cos(x)-1| - ln|cos(x)+1|) + C

Таким чином, остаточний вираз для інтеграла має вигляд:

∫dx/sin³(x) = 1/2 ln|tan(x/2)+1| - 1/2 ln|tan(x/2)-1| + C, де С - довільна константа інтегрування.