Ответ:

Для решения данного предела, применим несколько тригонометрических тождеств и алгебраических преобразований:

lim x → 0 (cosx - cos3x)/sin²4x

Раскроем разность косинусов:

lim x → 0 (cosx - cos3x) = lim x → 0 cosx - lim x → 0 cos3x

Используем тригонометрическое тождество cos(3x) = 4cos³(x) - 3cos(x):

lim x → 0 (cosx - cos3x) = lim x → 0 cosx - lim x → 0 (4cos³(x) - 3cos(x))

= cos(0) - (4cos³(0) - 3cos(0))

= 1 - (4 * 1 - 3 * 1)

= 1 - (4 - 3)

= 1 - 1

= 0

Теперь рассмотрим знаменатель sin²(4x):

lim x → 0 sin²(4x) = sin²(0)

= 0

Итак, мы получили предел вида 0/0, что является неопределенным выражением.

Применим правило Лопиталя (правило де-Аламбера) для нахождения предела неопределенности 0/0:

lim x → 0 (cosx - cos3x)/sin²4x = lim x → 0 (sinx - 3sin3x)/(8xcos4x)

Вычислим пределы числителя и знаменателя отдельно:

lim x → 0 sinx - 3sin3x = 0 - 3 * 0 = 0

lim x → 0 8xcos4x = 8 * 0 = 0

Теперь мы получили предел вида 0/0 снова. Применяем правило Лопиталя второй раз:

lim x → 0 (sinx - 3sin3x)/(8xcos4x) = lim x → 0 (cosx - 9cos3x)/(8cos4x - 32xsin4x)

Вычислим пределы числителя и знаменателя отдельно:

lim x → 0 cosx - 9cos3x = 1 - 9 * 1 = -8

lim x → 0 8cos4x - 32xsin4x = 8 * 1 - 32 * 0 = 8

Итак, предел равен:

lim x → 0 (cosx - cos3x)/sin²4x = -8/8 = -1

Таким образом, предел функции равен -1 при x стремящемся к 0.