Сначала запишем основные формулы, которыми воспользуемся

Основное тригонометрическое тождество: sin²α+cos²α=1

Синус двойного угла sin2α=2sinαcosα

Воспользуемся этим. Сначала раскроем квадрат суммы.

(sinα+cosα)²-sin2α=1

sin²α+2sinαcosα+cos²α-sin2α=1

1+2sinαcosα-2sinαcosα=1

1=1

Тождество доказано