ctg²α+1=1___

               sin²α
ctg²α+1=1__   =1: 1/16=16

               ( 1/4)²
сtg²α  = 16-1=15
ctg= -√15  (α∈ 2 четверь

 f(x)=sin2x+2cosx
f  "(x)=2cos2x-2sinx
2cos2x-2sinx=0
cos2x-sinx=0
1-2sin²х-sinx=0  (*-1)
2sin²х+sinx-1=0
t=sinx
2t²+t-1=0

Д=1-4*2*(-1)=9

t1=-1+3  =1/2               t2= -1-3  =-1

        4                                        4

sinx=-1              sinx=1/2
x=-π/2+2πk        x=(-1)^k π/6+пk

f(π/2)=sinπ+2cos(π/2)=0
f(π)=sin2п+2сos(п)=-2
f(5π/6) = sin(5π/3) + 2сos(5π/6) = -√3/2 + 2*(-√3/2) = -√3/2 - √3 = -1.5√3

Наименьшее значение  -1.5√3

Verified answer

1) 1+ctg^2(a)=1/sin^2(a)
ctg^2(a)=1/sin^2(a)  - 1
сtg^2(a) = 1/(1/16) - 1 = 16-1=15
ctg= -√15 ("-", так как угол принадлежит второй четверти, котангенс там отрицательный)

2) f(x)=sin2x+2cosx
f'(x)=2cos2x-2sinx
2cos2x-2sinx=0
cos2x-sinx=0
1-2sin^2(x)-sinx=0
2sin^2(x)+sinx-1=0
t=sinx
2t^2+t-1=0
t=-1; t=1/2
sinx=-1         sinx=1/2
x=-п/2+2пk  x=(-1)^k п/6+пk

На данном отрезке лежитк корень из этих множеств: 5п/6

f(п/2)=sinп+2cos(п/2)=0
f(п)=sin2п+2сos(п)=-2
f(5п/6) = sin(5п/3) + 2сos(5п/6) = -√3/2 + 2*(-√3/2) = -√3/2 - √3 = -1.5√3

Наименьшее значение - -1.5√3