[tex]\dfrac{\cos x}{\sin x-1}=0[/tex]

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель нулю не равен.

Получим систему:

[tex]\begin{cases} \cos x=0\\ \sin x-1\neq 0\end{cases}[/tex]

Решаем уравнение:

[tex]\cos x=0[/tex]

[tex]x=\dfrac{\pi }{2} +\pi n,\ n\in\mathbb{Z}[/tex]

Удобно расписать решение в виде совокупности двух серий решений:

[tex]\left[\begin{array}{l} x=\dfrac{\pi }{2} +2\pi n\\ x=-\dfrac{\pi }{2} +2\pi n\end{array}\right.,\ n\in\mathbb{Z}[/tex]

Решаем неравенство:

[tex]\sin x-1\neq 0[/tex]

[tex]\sin x\neq 1[/tex]

[tex]x\neq \dfrac{\pi }{2} +2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}[/tex]

Таким образом, первая серия решений совокупности не удовлетворяет уравнению. В окончательный ответ попадает только вторая серия решений совокупности:

[tex]x=-\dfrac{\pi }{2} +2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}[/tex]

Ответ: [tex]-\dfrac{\pi }{2} +2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}[/tex]