Діапазон значень sin x лежить в межах від -1 до 1, а це означає, що для того, щоб дане рівняння мало розв'язки, значення a^2 - a - 1 також повинно лежати в цьому діапазоні.
Щоб знайти значення a, для яких це вірно, можна скласти наступну нерівність:
-1 ≤ a^2 - a - 1 ≤ 1
Спростивши цю нерівність, отримаємо:
0 ≤ a^2 - a ≤ 2
Далі ми можемо знайти корені квадратного рівняння a^2 - a = 0:
a(a - 1) = 0
Це дає нам розв'язки a = 0 та a = 1.
Тепер нам потрібно перевірити, чи виконується нерівність для цих значень a:
Для a = 0 маємо 0^2 - 0 ≤ 2, що вірно.
Для a = 1 маємо 1^2 - 1 ≤ 2, що вірно.
Отже, рівняння sin x = a^2 - a - 1 має розв'язки для a = 0 і a = 1.
Answers & Comments
Діапазон значень sin x лежить в межах від -1 до 1, а це означає, що для того, щоб дане рівняння мало розв'язки, значення a^2 - a - 1 також повинно лежати в цьому діапазоні.
Щоб знайти значення a, для яких це вірно, можна скласти наступну нерівність:
-1 ≤ a^2 - a - 1 ≤ 1
Спростивши цю нерівність, отримаємо:
0 ≤ a^2 - a ≤ 2
Далі ми можемо знайти корені квадратного рівняння a^2 - a = 0:
a(a - 1) = 0
Це дає нам розв'язки a = 0 та a = 1.
Тепер нам потрібно перевірити, чи виконується нерівність для цих значень a:
Для a = 0 маємо 0^2 - 0 ≤ 2, що вірно.
Для a = 1 маємо 1^2 - 1 ≤ 2, що вірно.
Отже, рівняння sin x = a^2 - a - 1 має розв'язки для a = 0 і a = 1.