Verified answer

Даны точки A(1; 1; 0), B(2; -1; -1) и плоскость 5x+2y+3z-7=0.

Написать уравнение плоскости, проходящей через точки А и В и перпендикулярной к заданной плоскости.

Вектор n(5 ; 2 ; 3)  является нормальным вектором данной плоскости α.

Пусть точка М(x; y;  z) расположена в искомой плоскости β .

Тогда в плоскости β расположены векторы АM(x - 1; y - 1; z) ;  АВ(1; -2; -1) і вектор n.

Смешанное произведение этих трёх векторов должно равняться 0. Находим смешанное произведение:

  |  x - 1   y - 1       z   |

  |     1      -2        -1   |  = 0 .      Решаем эту матрицу по  

  |     5       2         3   |               схеме Саррюса.

|  x - 1    y - 1       z   |       x - 1     y - 1    

|     1       -2        -1   |          1         -2        

|     5       2         3   |         5         2  =

=(x – 1)*(-6) + (y – 1)*(-5) + z*2 – (y – 1)*3 – (x – 1)*(-2) – z*(-10) =

= -6x + 6 – 5y + 5 + 2z – 3y + 3 + 2x – 2 + 10z =

= -4x – 8y + 12z + 12 = 0, после сокращения на -4 получаем:

x + 2y – 3z – 3 = 0. Это искомое уравнение плоскости.

Ответ: x + 2y – 3z – 3 = 0.