Ответ:

k = -1/2    2 корня

k < -1/2    1 корень

k > -1/2    3 корня

Пошаговое объяснение:

2x²(x + 1) = kx

2x^3 + 2x^2 = kx

2x^3 + 2x^2 - kx = 0

x(2x^2 + 2x - k) = 0

Уравнение всегда имеет хотя бы 1 корень х = 0

2x^2 + 2x - k = 0

Найдем дискриминант:

D/4 = 1^2 - (-k*2) = 1 + 2k

При D = 0, то есть k = -1/2, уравнение 2x^2 + 2x - k = 0 имеет 1 корень , всего 2 корня у исходного уравнения

При D < 0, то есть k < -1/2,  уравнение 2x^2 + 2x - k = 0 не имеет корней,  всего 1 корень у исходного уравнения

При D > 0, то есть k > -1/2,  уравнение 2x^2 + 2x - k = 0 имеет 2 корня,  всего 3 корня у исходного уравнения